Группа Янко J ₂ , группа Холла — Янко ( HJ ) или группа Холла — Янко — Уэллса — это спорадическая группа порядка

2 ⁷ · 3 ³ · 5 ² · 7 = 604800.

История и свойства

J ₂ — это одна из 26 спорадических групп . Другое название — группа Холла — Янко — Уэллса . В 1969 Звонимир Янко предсказал J ₂ как одну из двух простых групп, имеющих 2 ¹⁺⁴ :A ₅ в качестве централизатора инволюции (вторая — ). Группу построили Холл и Уэллс как группу перестановок ранга 3 100 точек.

Как мультипликатор Шура , так и имеют порядок 2.

J ₂ является единственной из 4 групп Янко, являющейся монстра , так что группа является частью семейства, которое назвал счастливым . Поскольку группа обнаружена в группе Конвея Co1 , она является также частью второго счастливого семейства .

Представления

J ₂ является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов графа Холла — Янко , что ведёт к перестановочному представлению порядка 100. Группа является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов почти восьмиугольника Холла — Янко что ведёт к перестановочному представлению порядка 315.

Группа имеет размерности шесть над полем из четырёх элементов. Если при характеристике два мы имеем w ² + w + 1 = 0, то J ₂ генерируется двумя матрицами

${\displaystyle {\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matrix}}\right)}$

и

${\displaystyle {\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}}\right).}$

Эти матрицы удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.}$

J ₂ является , конечным гомеоморфным образом группы треугольника (2,3,7) .

Матричное представление, данное выше, формирует вложение в группу Диксона G ₂ (4) . Имеется два класса смежности в G ₂ (4) и они эквивалентны по автоморфизму поля F ₄ . Их пересечение («действительная» подгруппа) является простой группой порядка 6048. G ₂ (4), в свою очередь, изоморфна подгруппе группе Конвея Co ₁ .

Максимальные подгруппы

Имеется 9 классов смежности максимальных подгрупп группы J ₂ . Некоторые описанные здесь в терминах действия на графе Холла — Янко.

• U ₃ (3) порядка 6048 – одноточечный стабилизатор с орбитами 36 и 63.

Простая группа, содержащая 36 простых подгрупп порядка 168 и 63 инволюций, все являются смежными классами, действующими на 80 точек. Указанные инволюции обнаруживаются в 12 168-подгрупп. Её централизатор имеет структуру 4.S ₄ , которая содержит 6 дополнительных инволюций.

• 3.PGL(2,9) порядка 2160 — имеет подфактор A ₆
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅ порядка 1920 — централизатор инволюции, действующей на 80 точек
• 2 ²⁺⁴ :(3 × S ₃ ) порядка 1152
• A ₄ × A ₅ порядка 720.

Содержит 2 ² × A ₅ (порядка 240), централизатор 3 инволюций, каждая действует на 100 точках

• A ₅ × D ₁₀ порядка 600
• PGL(2,7) порядка 336
• 5 ² :D ₁₂ порядка 300
• A ₅ порядка 60

Классы сопряжённости

Максимальный порядок любого элемента не превосходит 15. Как перестановки, элементы действуют на 100 вершинах графа Холла — Янко.

Примечания

Литература

Ссылки

• от 5 сентября 2017 на Wayback Machine