Interested Article - Группа треугольника (2,3,7)

Группа треугольника (2,3,7) — треугольная группа ( группа фон Дика ) D (2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений. Важный объект в теории римановых поверхностей и геометрии Лобачевского в связи с поверхностями Гурвица , а именно ^{[

уточнить

]} с римановыми поверхностями рода g с максимально высоким возможным порядком группы автоморфизмов, равным 84( g − 1).

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) являются фуксовыми группами , ассоциированными с поверхностями Гурвица , такими как , поверхность Макбита и .

Построения

Гиперболическое построение

Треугольная группа (2,3,7) является группой сохраняющих ориентацию изометрий мозаик из (2,3,7) треугольников Шварца , показанных здесь в проекции на диск Пуанкаре .

Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является (дискретной подгруппой гиперболических изометрий ) с этим треугольником в качестве фундаментальной области . Ассоциированная мозаика является . Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).


Симметрия:						[7,3] ⁺ , (732)


{7,3}			=t{3,7}	={3,7}
Однородные двойственные мозаики


	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 ⁷	V3.4.7.4	V3.3.3.3.7

Задание группы

Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g ₂ , g ₃ , со следующими соотношениями:

g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.

Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.

Алгебра кватернионов

Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем в алгебре кватернионов . Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства

(2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.

видим, что Q (η) является полностью вещественным кубическим расширением Q . Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i ² = j ² = η , ij = − ji . Можно выбрать подходящий ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок $Q_{\mathrm {Hur} }$ порождается элементами

g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij

g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).

Фактически порядок является свободным Z [η]-модулем над базисом $1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}$ . Генераторы удовлетворяют условиям

g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,

которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.

Связь с SL(2,R)

Визуализация отображения (2,3,∞) → (2,3,7) путём трансформации связанных мозаик .

Расширив скаляры из Q (η) в R (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2, R ) вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы в SL(2, R ) , а именно как факторгруппу модулярной группы . Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства.

Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в верхней полуплоскости , как и фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле

\operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).

Примечания

Под «треугольной группой (2,3,7)» чаще всего понимается не полная треугольная группа Δ(2,3,7) ( группа Коксетера с треугольником Шварца (2,3,7), или реализованная как гиперболическая ), а именно «обычная» треугольная группа $D(2,3,7)$ .
Слово «порядок» многозначно. В данном контексте под порядком понимается порядок кольца (R-порядок). См. книгу Райнера «Максимальные порядки» ( ).
от 28 октября 2009 на Wayback Machine , от 10 марта 2011 на Wayback Machine

Литература

I. Reiner. Maximum order. — Oxford: Clarendon Press, 2003. — Т. 28 (переиздание). — (London Mathematical Society Monographs New Series).
N. D. Elkies. Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 1423. — ( ). — ISBN 3-540-64657-4 . — doi : .
M. Katz, M. Schaps, U. Vishne. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom. . — 2007. — Т. 76 , вып. 3 . — С. 399–422 .