Локальная топологическая группа — топологическое пространство , в котором заданы непрерывные операции умножения и взятия обратного элемента, удовлетворяющие аксиомам группы , но, в отличие от топологической группы , определённые лишь в некоторой окрестности единицы. Примером локально топологической группы является любая топологическая группа.

Определение

Локальной топологической группой называется система ${\displaystyle (G,e,W,V,m,i)}$ , где ${\displaystyle G}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle e}$ — некоторый его элемент, ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle V}$ — открытые подмножества в ${\displaystyle G\times G}$ и ${\displaystyle G}$ соответственно, ${\displaystyle e\in V}$ , ${\displaystyle m\colon W\to G}$ — непрерывная операция умножения (обычно обозначают ${\displaystyle m(a,b)=ab}$ ), ${\displaystyle i\colon V\to G}$ — непрерывная операция нахождения обратного элемента (обычно обозначают ${\displaystyle i(a)=a^{-1}}$ ), если выполнены следующие условия:

1. Для любых элементов ${\displaystyle a,b,c\in G}$ , для которых определены произведения ${\displaystyle ab,bc,(ab)c,a(bc)}$ , выполнено ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ .
2. Для любого элемента ${\displaystyle a\in G}$ произведения ${\displaystyle ae,ea}$ определены и равны ${\displaystyle a}$ .
3. Для любого элемента ${\displaystyle a\in G}$ произведения ${\displaystyle aa^{-1},a^{-1}a}$ определены и равны ${\displaystyle e}$ .

Примеры

Каждая топологическая группа (а также любая её окрестность единицы) является локальной топологической группой.

Литература

• Понтрягин Л. С. , Непрерывные группы, 3 изд., М.,

Ссылки

• Локальная топологическая группа — статья из Математической энциклопедии . В. Л. Попов