Симплектическая матрица — это матрица M размера 2 n ×2 n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,,}$

(1)

где M ^T обозначает транспонированную матрицу для M , а Ω является фиксированной 2 n ×2 n невырожденной кососимметричной матрицей . Это определение можно расширить на 2 n ×2 n матрицы с элементами из любого поля , например, из поля комплексных чисел .

Обычно в качестве Ω выбирается блочная матрица

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$ ,

где E _n — n × n единичная матрица . Матрица Ω имеет определитель +1 и её обратная равна Ω ⁻¹ = Ω ^T = −Ω.

Любая симплектическая матрица имеет единичный определитель. 2 n ×2 n — симплектические матрицы с вещественными элементами — образуют подгруппу специальной линейной группы SL(2 n , R ) с операцией умножение матриц , а именно, связную некомпактную вещественную группу Ли размерности n (2 n + 1) , симплектическую группу Sp(2 n , R ). Симплектическая группа может быть определена как множество линейных преобразований , сохраняющих симплектическую форму вещественно симплектического векторного пространства .

Примером группы симплектических матриц служит группа трёх симплектических 2x2 матриц , состоящая из единичной матрицы, верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы, состоящих из элементов 0 и 1.

Свойства

Любая симплектическая матрица является невырожденной и обратная матрица задаётся формулой

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .}$

Кроме того, умножение двух симплектических матриц будет, снова, симплектической матрицей. Это придаёт множеству всех симплектических матриц структуру группы . Существует естественная структура многообразия на этой группе, которая превращает её в (вещественную или комплексную) группу Ли , называемую симплектической группой .

Из определения легко следует, что определитель любой симплектической матрицы равен ±1. На самом деле оказывается, что определитель всегда равен +1 для любого поля. Один из способов увидеть это — использовать пфаффиан и равенство

${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).}$

Поскольку ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ и ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$ , мы имеем det( M ) = 1.

Если рассматриваемое поле является полем вещественных или комплексных чисел, элементарное доказательство получается путём разложения неравенства ${\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+E)\geq 1}$ .

Предположим, что Ω задано в стандартном виде и пусть M — это 2 n ×2 n блочная матрица , заданная в виде

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$ ,

где A , B , C , D являются n × n матрицами. Условие для M может быть симплектически эквивалентно двум следующим условиям

${\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}$ симметричные, и ${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=E}$

${\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}$ симметричные, и ${\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=E}$

При n = 1 эти условия сводятся к одному условию det( M ) = 1. Тогда 2×2 матрица симплектическая тогда и только тогда, когда имеет единичный определитель.

В случае задания Ω в стандартной форме, обратная к M задаётся уравнением

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.}$

Группа имеет размерность n (2 n + 1). Это можно видеть, если заметить, что

${\displaystyle \Omega M^{\text{T}}\Omega M=-E}$

Последнее равенство можно представить в форме

${\displaystyle -\delta _{ij}=\sum _{k=1}^{n}m_{k,i+n}m_{n+k,j}-m_{n+k,i+n}m_{n,j}-m_{k,i}m_{n+k,j}+m_{k,i}m_{k,j}}$ ,

где ${\displaystyle m_{ij}}$ — элемент (i,j) матрицы. Эта сумма антисимметрична, и, поскольку левая часть равна нулю при i отличном от j, это оставляет n(2n-1) независимых равенств.

Симплектические преобразования

В абстрактной формулировке линейной алгебры матрицы заменяются линейными отображениями конечномерного векторного пространства . Абстрактной аналогией симплектической матрицы является симплектическое преобразование симплектического векторного пространства . Коротко, симплектическое векторное пространство является 2 n -мерным векторным пространством V , снабжённым , кососимметричной билинейной формой ω, называемой симплектической формой .

Симплектическое преобразование тогда является линейным преобразованием L : V → V , которое сохраняет ω, т.е.

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).}$

Если зафиксировать базис для V , ω можно записать как матрицу Ω и L как матрицу M . Условие, что L является симплектическим преобразованием, в точности является условием, что M — симплектическая матрица:

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}$

При , (с матрицей замены A ), мы имеем

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

Всегда можно привести Ω либо к стандартной форме, указанной во введении, либо к блочно-диагональной форме, описанной ниже, если выбрать подходящую матрицу A .

Матрица Ω

Симплектические матрицы определены относительно фиксированной невырожденной , кососимметричной матрицы Ω. Как объяснено в предыдущей секции, Ω можно рассматривать как координатное представление кососимметричной билинейной формы . Это базовый результат линейной алгебры , утверждающий, что две такие матрицы отличаются друг от друга лишь .

Наиболее частой альтернативой стандартной матрице Ω, приведённой выше, является блочно-диагональная матрица

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица отличается от предыдущей перестановкой базисных векторов .

Иногда используется обозначение J вместо Ω для кососимметричной матрицы. Это является не очень хорошим выбором, поскольку приводит к путанице с обозначениями , которая часто имеет то же самое координатное выражение, что и Ω, но представляет совершенно другую структуру. Комплексная структура J — это координатное представление линейного преобразования, квадрат которого равен -E , в то время как Ω является координатным представлением невырожденной кососимметричной билинейной формы. Легко выбрать базис, в котором J не будет кососимметричной, или квадрат Ω не будет -E .

Если дана на векторном пространстве, J и Ω связаны соотношением

${\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}$ ,

где ${\displaystyle g_{ac}}$ — метрика . То, что J и Ω имеет то же самое координатное выражение (с точностью до знака), есть просто следствие факта, что метрика g обычно является единичной матрицей.

Диагонализация и декомпозиция

• Для любой положительно определённой вещественной симплектической матрицы S существует U в U(2 n , R ) , такая, что

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
где диагональные элементы D являются собственными значениями S .

• Любая вещественная симплектическая матрица S имеет полярное разложение в виде :

${\displaystyle S=UR\quad }$ для ${\displaystyle U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} )}$ .

• Любая вещественная симплектическая матрица может быть разложена в произведение трёх матриц:

${\displaystyle S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',}$
таких что O и O' симплектические и ортогональные , а D — положительно определённая диагональная матрица . Это разложение тесно связано с cингулярным разложением матрицы и известно как разложение Эйлера или Блоха-Мессии.

Комплексные матрицы

Если вместо M взять 2n × 2n матрицу с комплексными элементами, определение в литературе не стандартизировалось. Многие авторы уточняют приведённое выше определение до

${\displaystyle M^{*}\Omega M=\Omega \,.}$

(2)

,

где M ^* означает эрмитово сопряжение матрицы M . В этом случае определитель может и не равняться 1, но имеет абсолютную величину 1. В случае 2×2 ( n =1), M будет произведением симплектической матрицы на комплексное число с абсолютным значением 1.

Другие авторы сохраняют определение ( ) для комплексных матриц, а матрицы, удовлетворяющие условию ( ), называют сопряжёнными симлпектическими матрицами.

См. также

• Симплектическое пространство
• Симплектическая группа
• Ортогональная матрица
• Унитарная матрица
• Гамильтонова механика

Примечания

Литература

Ссылки

• PlanetMath
• PlanetMath