Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике , исходно возникшая в информатике , и связанная с алгебраической и симплектической геометрией . Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения , исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации .

Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов . По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки . Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл .

Основные понятия

• (или тропическое полуполе ) — множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , снабжённое операциями тропического сложения ${\displaystyle \oplus }$ и тропического умножения ${\displaystyle \odot }$

${\displaystyle x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.}$

• Тропический многочлен степени ${\displaystyle d}$ на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

${\displaystyle f(x,y)=\bigoplus _{i+j\leq d}\,a_{i,j}\odot x^{\odot i}\odot y^{\odot j}=\max _{i+j\leq d}(ix+jy+a_{i,j}).}$

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{|J|\leq d}\,a_{J}\odot x^{\odot J}=\max _{|J|\leq d}\,(a_{J}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).}$

• Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену ${\displaystyle f}$ степени ${\displaystyle d}$ — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции ${\displaystyle f}$ . Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней ${\displaystyle (i,j)}$ и ${\displaystyle (i',j')}$ , снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей ${\displaystyle i-i'}$ и ${\displaystyle j-j'}$ .
• В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

Примечания

Литература

• Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. . — Basel: Springer , 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars).

• М. Э. Казарян . . — М. : МЦНМО, 2012. — 43 с. — (Летняя школа «Современная математика»). — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-966-3 .