Теорема о произведении отрезков хорд описывает соотношения отрезков, образованных двумя пересекающимися хордами окружности. В теореме утверждается, что произведения длин отрезков каждой из хорд равны.

Формулировка теоремы

Для двух хорд AC и BD , пересекающихся в точке S , выполняется следующее равенство:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Обратное также верно, т. е. если для двух отрезков AC и BD , пересекающихся в точке S, вышеприведённое равенство выполняется, то их концы A , B , C и D лежат на одной окружности. Другими словами, если диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке S и выполняется вышеупомянутое равенство, то этот четырёхугольник является вписанным .

Степень точки

Значения двух произведений в теореме о хордах зависит от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением степени точки S . Более точно это можно выразить следующим образом:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$

где r является радиусом окружности, а d является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S . Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хордах к третьей хорде, проведённой через точку S и центр окружности M (см. рисунок).

Наряду с теоремой о секущей и касательной и теоремой о двух секущих , теорема о пересекающихся хордах является одним из трёх основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности — теоремы о степени точки .

Доказательство теоремы

Теорему можно доказать с помощью подобных треугольников (через теорему о вписанном угле ). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC :

${\displaystyle \angle ADS=\angle BCS\,}$ (углы, опирающиеся на хорду AB)

${\displaystyle \angle DAS=\angle CBS\,}$ (углы, опирающиеся на хорду CD)

${\displaystyle \angle ASD=\angle BSC\,}$ (вертикальные углы)

Это означает, что треугольники ASD и BSC подобны, а потому:

${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Вы можете посмотреть интерактивную иллюстрацию к теореме и её доказательству .

Примечания

Литература

• Glaister P. Intersecting Chords Theorem: 30 Years on // Mathematics in School. — 2007. — vol. 36. — № 1. — P. 22.
• Shawyer B. Explorations in Geometry. — World scientific, 2010. — P. 14. — ISBN 9789813100947.
• Schupp H. Elementargeometrie. — Schöningh, Paderborn, 1977. — P. 149. — ISBN 3-506-99189-2.
• Schülerduden — Mathematik I. — Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008. — S. 415—417. — ISBN 978-3-411-04208-1.