Позином это расширение понятия полином как суммы мономов с помощью расширения понятия моном . Из свойств таких обобщённых мономов следует ограничение области определения функции, задаваемой позиномом, на строго положительные значения.

Определение

Позином — обобщённый полином вида

${\displaystyle g(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}\prod \limits _{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{ij}},\quad x_{j}>0,\ c_{i}>0,\ a_{ij}\in \mathbb {R} .}$ ,

где ${\displaystyle u_{i}(x),\ i={\overline {1,n}}}$ — мономы .

Пример

${\displaystyle g(x)=0.25x^{4}+x^{-1.5}+2x^{9}.}$

Свойства

• если ${\displaystyle g(x)}$ — позином, ${\displaystyle \lambda >0}$ — константа, то ${\displaystyle \lambda g(x)}$ — позином,
• если ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — позиномы, то ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ — тоже позином,
• если ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — позиномы, то ${\displaystyle f(x)g(x)}$ — тоже позином.

Таким образом, множество позиномов является, как и множество полиномов, кольцом .

Поскольку мономы - частный случай позиномов, множество позиномов является, также, алгеброй над кольцом полиномов.

• если ${\displaystyle g(x)}$ — позином, ${\displaystyle u(x)}$ — моном , то ${\displaystyle g(x)/u(x)}$ - позином,
• если ${\displaystyle g(x)}$ — позином, то ${\displaystyle {g(x)}^{k}\ (k>0,}$ целое ${\displaystyle )}$ — позином.

Приложения

Позиномы являются базовым понятием в геометрическом программировании . С помощью позиномов описываются и решаются задачи из широкого круга математических проблем, в частности к нему относятся: оптимальное планирование, оптимальное управление, экономические задачи и расчёт рисков, кодирование и др.

Примечания

Литература

• Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. Геометрическое программирование. — М. : Мир, 1972. — 311 с.