Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной . Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ функция есть не что иное, как непрерывная функция , искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры . Это утверждение также часто называют ${\displaystyle C}$ -свойством .

Формулировка

Для того, чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ , заданная на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым ${\displaystyle C}$ -свойством : для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такая функция ${\displaystyle \varphi (x)}$ , непрерывная на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ , что мера множества ${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\}}$ меньше ${\displaystyle \varepsilon }$ .

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге . Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова . В этой теореме произвольно малое число ${\displaystyle \varepsilon >0}$ нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).

История открытия

Примечания

Литература

• Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М. : Наука , 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит , 1961. — 436 с.

• Богачев В. И. , . — Историко-математические исследования , вып. 48 (13), 2009.

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.