Задача Минковского:

Поставлена Минковским , которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности ${\displaystyle F}$ , даже если ${\displaystyle G(n)}$ — аналитическая функция . Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере ${\displaystyle S}$ непрерывная положительная функция ${\displaystyle G(n)}$ удовлетворяет условию

${\displaystyle \int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,}$

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса ) замкнутая выпуклая поверхность ${\displaystyle F}$ , для которой ${\displaystyle G(n)}$ является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью ${\displaystyle n}$ .

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году . В частности, он доказал, что если ${\displaystyle K(n)}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{m}}$ , ${\displaystyle m\geq 3}$ , то получаемая поверхность ${\displaystyle F}$ принадлежит классу гладкости ${\displaystyle C^{m+1,\alpha }}$ , а в случае аналитичности ${\displaystyle K(n)}$ поверхность ${\displaystyle F}$ также оказывается аналитической.

Вариации и обобщения

• Существует обобщение задачи Минковского для риманова пространства .

См. также

• Теорема Минковского о многогранниках

Литература

1. Bodrenko A.I. от 21 февраля 2020 на Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

• Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
• Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
• Буземан Г. Выпуклые поверхности. — 1964.