Interested Article - Функционал Минковского

Функционал Минковского функционал , использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского .

Определение

Для любого векторного пространства ( вещественного или комплексного ) и его подмножества функционал Минковского определяется как:

.

Предполагается, что и множество непусто. При дополнительных условиях на функционал будет обладать свойствами полунормы , а именно:

  • из выпуклости и симметричности следует субаддитивность , то есть ;
  • однородность для всех достигается, если сбалансированное множество , то есть для всех .

Свойства

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств , содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений ) между множествами в и , так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве . Пусть — конечномерное евклидово пространство . Для любого множества сопряжённое множество вводится как множество, опорная функция которого на векторах совпадает с :

.

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного выполнено:

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства . При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство содержит элементы, не лежащие в . Можно доопределить опорную функцию на , положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении образ совпадает с (при выпуклости и сбалансированности).

См. также

Другие проявления двойственности Минковского:

Литература

Источник —

Same as Функционал Минковского