Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу . Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица .

Условные обозначения

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени ${\displaystyle n}$ . При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии ${\displaystyle z=ic}$ где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица и ${\displaystyle c}$ — вещественное число ). Давайте обозначим ${\displaystyle P_{0}(y)}$ (многочлен степени ${\displaystyle n}$ ) и ${\displaystyle P_{1}(y)}$ (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем ${\displaystyle n}$ ) через ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$ , относительно вещественной и мнимой части ${\displaystyle f}$ мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• ${\displaystyle p}$ — число корней ${\displaystyle f}$ в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• ${\displaystyle q}$ — число корней ${\displaystyle f}$ в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• ${\displaystyle \Delta \arg f(iy)}$ — изменение аргумента ${\displaystyle f(iy)}$ , когда ${\displaystyle y}$ пробегает от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$ ;
• ${\displaystyle w(x)}$ — число изменений обобщённой цепочки Штурма , полученной из ${\displaystyle P_{0}(y)}$ и ${\displaystyle P_{1}(y)}$ с помощью алгоритма Евклида ;

• ${\displaystyle I_{-\infty }^{+\infty }r(x)}$ — рациональной функции ${\displaystyle r(x)}$ на вещественной прямой.

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ — над полем комплексных чисел (т. е. ${\displaystyle f}$ он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим ${\displaystyle f}$ в сумму:

${\displaystyle f(z)=g(z^{2})+zh(z)}$ .

Обозначим коэффициенты ${\displaystyle g}$ как ${\displaystyle a_{j}^{0}}$ , а ${\displaystyle h}$ — как ${\displaystyle a_{j}^{1}}$ . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена ${\displaystyle g}$ является ${\displaystyle a_{0}^{0}}$ .

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

${\displaystyle p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).}$

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента ${\displaystyle f(iy)}$ положительно, тогда ${\displaystyle f(z)}$ имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство ${\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )}$ может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма . Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть ${\displaystyle p+q}$ , а ${\displaystyle w}$ из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае ${\displaystyle w}$ относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

${\displaystyle H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&&\\a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\&\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}\end{pmatrix}},}$

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если ${\displaystyle f}$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

, начинающаяся многочленами ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ , определяет последовательность ${\displaystyle a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots ,a_{0}^{n}}$ ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак , если ${\displaystyle f}$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
• Обратите также внимание, что в записи ${\displaystyle a_{0}^{i}}$ число ${\displaystyle i}$ — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице ${\displaystyle H_{f}}$ , мы получим диагональную матрицу ${\displaystyle H_{f}^{*}}$ . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы ${\displaystyle h_{j,j}^{*}}$ трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу ${\displaystyle H_{f}}$ , мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты ${\displaystyle h_{j,j}^{*}}$ соответствуют коэффициентам ${\displaystyle a_{0}^{j}}$ , мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как ${\displaystyle f(z)}$ — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда , когда ${\displaystyle p-q=n}$ . Таким образом получаем условия на коэффициенты ${\displaystyle f(z)}$ , накладывая дополнительные условия ${\displaystyle w(+\infty )=n}$ и ${\displaystyle w(-\infty )=0}$ .

Наравне с теоремой Стилтьеса , теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности . Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также

• Теорема Стилтьеса
• Устойчивый многочлен
• Дробно-линейное преобразование
• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица

Примечания

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М. : Наука , 1967. — 576 с.
• Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М. : Наука, 1981. — 176 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .