Теорема (или парадокс ) Хаусдорфа — доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества ${\displaystyle T}$ двумерной сферы ${\displaystyle S^{2}}$ , дополнение ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}=S^{2}\setminus T}$ которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ , конгруэнтных друг другу и множеству ${\displaystyle B\cup C}$ . Впервые опубликована в 1914 году Феликсом Хаусдорфом . Эта теорема (как и основанный на её идеях парадокс удвоения шара ) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ ). Поэтому иногда называется «парадоксом».

Доказательство теоремы существенно использует аксиому выбора . Замена этой аксиомы некоторыми альтернативными позволяет доказать отрицание теоремы Хаусдорфа (то есть невозможность соответствующего разбиения сферы).

Из теоремы следует, что на двумерной сфере не существует конечно-аддитивной меры , определённой на всех подмножествах и принимающей равные значения на конгруэнтных множествах (то есть инвариантной относительно движений сферы).

Иногда под «парадоксом Хаусдорфа» понимают другую теорему, доказанную в той же статье, что и рассматриваемая. Эта теорема даёт пример, похожий на множество Витали . Она утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры , определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.

Идея доказательства

Здесь мы докажем упрощённый вариант теоремы. А именно, мы докажем существование разбиения сферы с выколотым счётным множеством точек (назовём её ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ ) на три попарно конгруэнтных куска ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ таких, что ${\displaystyle B\cup C}$ конгруэнтно подмножеству ${\displaystyle A}$ . Как и теорема Хаусдорфа, это утверждение показывает, что на двумерной сфере нельзя определить «площадь», значение которой существовало бы для любого подмножества и оставалось бы неизменным при движениях .

Доказательство разбивается на следующие три шага:

1. Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими ${\displaystyle \Gamma }$ на три подмножества.
2. Строим свободное изометрическое действие этой группы на ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ .
3. Используем разбиение ${\displaystyle \Gamma }$ и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.

Шаг 1

Рассмотрим группу ${\displaystyle \Gamma }$ с двумя образующими ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и соотношениями ${\displaystyle a^{2}=1}$ и ${\displaystyle b^{3}=1}$ (иначе говоря, ${\displaystyle \Gamma ={\mathbb {Z} }_{2}*{\mathbb {Z} }_{3}}$ , где ${\displaystyle *}$ обозначает свободное произведение групп). Группа ${\displaystyle \Gamma }$ состоит из пустого слова, которое мы обозначаем ${\displaystyle 1}$ (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов ${\displaystyle b,\;b^{-1}}$ и ${\displaystyle a}$ , таких что ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b^{-1}}$ чередуются с ${\displaystyle a}$ . Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как ${\displaystyle ab^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots b^{\pm 1}a}$ или ${\displaystyle b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\ldots b^{\pm 1}a}$ или ${\displaystyle ab^{\pm 1}ab^{\pm 1}\ldots ab^{\pm 1}}$ или ${\displaystyle b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\ldots ab^{\pm 1}}$ .

Группу ${\displaystyle \Gamma }$ можно разбить следующим образом: пусть ${\displaystyle {\mathbb {A} }}$ будет множество всех слов, начинающихся с ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ будет множество всех слов, начинающихся с ${\displaystyle b^{-1}}$ и ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ будет множество всех остальных элементов ${\displaystyle \Gamma }$ . Ясно, что

${\displaystyle \Gamma ={\mathbb {A} }\cup {\mathbb {B} }\cup {\mathbb {C} },}$

то есть мы разбили нашу группу ${\displaystyle \Gamma }$ на три непересекающихся подмножества. Также

${\displaystyle {\mathbb {A} }=b{\mathbb {C} },}$

${\displaystyle {\mathbb {B} }=b^{-1}{\mathbb {C} },}$

${\displaystyle {\mathbb {A} }\cup {\mathbb {B} }\subset {\mathbb {A} }\cup {\mathbb {B} }\cup \{1,\;a\}=a{\mathbb {C} }.}$

Шаг 2

Несложно показать, что существует представление ${\displaystyle \Gamma }$ с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ . (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle 2\pi /3}$ общего положения и сопоставить их образующим ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ , то индуцированное действие ${\displaystyle \Gamma }$ будет удовлетворять этому условию).

Шаг 3

Рассмотрим множество ${\displaystyle X}$ , содержащее по одному элементу каждой орбиты ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ (утверждение о существовании этого множества опирается на аксиому выбора ). Тогда наша «колотая» сфера ${\displaystyle {\bar {S}}^{2}}$ представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:

${\displaystyle {\bar {S}}^{2}=A\cup B\cup C,}$

где

${\displaystyle A={\mathbb {A} }X,\;B={\mathbb {B} }X,\;C={\mathbb {C} }X.}$

Используя тот же приём, что и на шаге 1, мы получаем:

${\displaystyle A=bC,}$

${\displaystyle B=b^{-1}C,}$

${\displaystyle A\cup B\subset aC,}$

и, так как ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются изометриями, мы получаем, что ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ конгруэнтны, и ${\displaystyle A\cup B}$ конгруэнтно подмножеству ${\displaystyle C}$ .

Литература