Interested Article - Нётеров модуль
- 2020-09-16
- 1
Нётеров мо́дуль — это модуль , в котором выполняется условие обрыва возрастающих цепей для его подмодулей , упорядоченных по отношению включения.
Исторически, Гильберт был первым математиком, исследовавшим свойства конечнопорождённости подмодулей. В частности, он доказал теорему Гильберта о базисе , согласно которой любой идеал в кольце многочленов от нескольких переменных является конечнопорождённым (это свойство эквивалентно нётеровости). Однако, свойство нётеровости было названо в честь Эмми Нётер , которая первой осознала степень его важности.
Эквивалентные определения и свойства
Существует несколько эквивалентных определений нётерова модуля:
- Любая последовательность подмодулей вида стабилизируется, то есть начиная с некоторого
- В любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент . Данное условие эквивалентно первому для любого частично упорядоченного множества (доказательство использует аксиому выбора ).
- Каждый подмодуль модуля M является конечнопорождённым .
Последнее определение особенно полезно, и доказательство его эквивалентности исходному определению элементарно:
- Если модуль удовлетворяет свойству из последнего определения, то он удовлетворяет и свойству из первого. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем, элементами . Тогда существует некоторый элемент цепочки , содержащий эти x i и поэтому равный объединению всех M i . Отсюда
- Обратно, если М над кольцом A удовлетворяет свойству из первого определения (эквивалентно, из второго определения) и N — его подмодуль, то во множестве всех конечнопорождённых подмодулей модуля N существует максимальный подмодуль . Если то взяв элемент и построив модуль (или в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший конечнопорождённый модуль против предположения. Следовательно, N конечно порождён.
Пусть — некоторый модуль и — его подмодуль. является нётеровым тогда и только тогда, когда и являются нётеровыми.
Примеры
- Целые числа , рассматриваемые как модуль на кольцом целых чисел, являются нётеровым модулем.
- Пусть — полное кольцо матриц над произвольным полем и — множество векторов-столбцов над этим полем, то можно сделать модулем над задав умножение элемента модуля на элемент кольца как умножение столбца на матрицу. Тогда является нётеровым модулем.
- Каждый модуль, являющийся конечным множеством, нётеров.
- Каждый конечнопорождённый правый модуль над правым нётеровым кольцом нётеров (см. определение ниже).
Связь с другими структурами
Ассоциативное кольцо с единицей называется нётеровым , если оно является нётеровым модулем над самим собой, то есть удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов . В некоммутативном случае выделяют левые нётеровы и правые нётеровы кольца, если же кольцо является нётеровым слева и нётеровым справа, его называют просто нётеровым.
Условие нётеровости может быть определено также для бимодулей : бимодуль называется нётеровым, если он удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для своих подбимодулей. Может случиться, что бимодуль является нётеровым, тогда как структуры левого и правого модуля на нём не являются нётеровыми.
См. также
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968
- 2020-09-16
- 1