Теорема Чеботарёва об устойчивости функции — обобщение теоремы Эрмита — Билера на случай целых функций. Названа по имени советского математика Николая Чеботарёва .

Формулировка

Целая функция ${\displaystyle f}$ тогда и только тогда сильно устойчива, когда соответствующие функции ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ составляют вещественную пару и хотя бы в одной точке вещественной оси функция ${\displaystyle gh'-g'h}$ положительна.

Пояснения

Здесь целой функцией считается функция ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$ , разлагающаяся в степенной ряд: ${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{n}z^{n}+\ldots }$ , сходящийся при всех значениях ${\displaystyle z}$ . Целая функция является устойчивой, если у неё нет корней с положительной вещественной частью. Функции ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ определяются следующим образом. Подставив в ${\displaystyle f(z)}$ вместо ${\displaystyle z}$ чисто мнимое число ${\displaystyle i\omega }$ получаем комплексное число ${\displaystyle f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )}$ . Целые функции ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ составляют вещественную пару, если для любых вещественных ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ все корни функции ${\displaystyle \lambda g+\mu h}$ вещественны. Если функции ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ составляют вещественную пару, то корни этих функций перемежаются. Корни многочленов ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$ с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

Литература

• Постников М. М. Устойчивые многочлены — М.: Наука, 1981. — С. 129.