Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий , основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства . Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.

Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.

Названы в честь Александровa и Чеха . Обычно обозначаются ${\displaystyle {\check {H}}^{*}}$ .

Построение

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ — открытое покрытие ${\displaystyle X}$ . Обозначим через ${\displaystyle N_{\mathcal {V}}}$ нерв покрытия ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ .

Предположим, покрытие ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ вписано в покрытие ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ , то есть любое множество из ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ содержится в некотором множестве из ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ . Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ содержащее его множество из ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ . Это отображение индуцирует отображение нервов ${\displaystyle f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}}$ . Индуцированный гомоморфизм колец когомологий ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V}},G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W}},G)}$ не зависит от выбора ${\displaystyle f}$ . (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)

Кольца когомологий ${\displaystyle H^{*}(N_{\mathcal {V}},G)}$ с гомоморфизмами ${\displaystyle f^{*}}$ образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу

${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).}$

Полученное кольцо ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X,G)}$ называется когомологиями Чеха пространства ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в ${\displaystyle G}$ .

Связь с другими теориями когомологий

• Для патологических пространств когомологии Чеха могут отличатся от сингулярных когомологий.
  • Например, если X — , то ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$ , тогда как ${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.}$
• Если X гомотопически эквивалентен СW-комплексу , то когомологии Чеха ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;A)}$ естественно изоморфны сингулярным когомологиям ${\displaystyle H^{*}(X;A)}$ .
• Если X является гладким многообразием , то когомологии Чеха ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )}$ естественно изоморфны когомологиям де Рама .

Ссылки

• Александров П. С., «Аnn. of Math.», 1928, v. 30, p. 101-87;
• Сесh Е., «Fundam. math.», 1932, t. 19, p. 149-83;
• Bott, Raoul ; Loring Tu. Differential Forms in Algebraic Topology (неопр.) . — New York: Springer, 1982. — ISBN 0-387-90613-4 .
• (англ.) ( . (неопр.) . — Cambridge University Press , 2002. — ISBN 0-521-79540-0 .
• (англ.) ( . Differential Analysis on Complex Manifolds (англ.) . — Springer-Verlag , 1980. — ISBN 0-387-90419-0 . Chapter 2 Appendix A