Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии , где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств . В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами .

Определения

• Пусть дано множество ${\displaystyle X}$ . Семейство множеств ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ называется покрытием ${\displaystyle X}$ , если

${\displaystyle X\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

• Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология . Тогда семейство открытых множеств ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq {\mathcal {T}}}$ называется открытым покрытием множества ${\displaystyle Y\subseteq X}$ , если

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Связанные определения

• Если ${\displaystyle C}$ — покрытие множества ${\displaystyle Y}$ , то любое подмножество ${\displaystyle D\subset C}$ , также являющееся покрытием ${\displaystyle Y}$ , называется подпокры́тием .
• Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие ${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$ вписано в покрытие ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ , если

${\displaystyle \forall \beta \in B\;\exists \alpha \in A}$ такое, что ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

• Покрытие ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ множества ${\displaystyle Y}$ называется лока́льно коне́чным , если для каждой точки ${\displaystyle y\in Y}$ существует окрестность ${\displaystyle U\ni y}$ , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов ${\displaystyle C}$ , то есть множество ${\displaystyle \{\alpha \in A\mid U_{\alpha }\cap U\not =\varnothing \}}$ конечно .
• Покрытие ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ множества ${\displaystyle Y}$ называется фундамента́льным , если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством ${\displaystyle U\in C}$ открыто в ${\displaystyle U}$ , открыто и в ${\displaystyle Y}$ .
• ${\displaystyle Y}$ называется компактным , если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
• ${\displaystyle Y}$ называется паракомпактным , если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Свойства

• Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Карта (математика)
• Нерв покрытия
• Размерность Лебега

Примечания