Пространство Фреше — полное локально выпуклое пространство , топология которого может быть задана метрикой . Названо в честь Мориса Фреше .

Частными случаями пространств Фреше являются банаховы пространства . Пространства Фреше сохраняют ряд важных свойств банаховых пространств , и это делает их удобными моделями локально выпуклых пространств в математике. В частности, в классе пространств Фреше справедливы

• Теорема Бэра ,
• Принцип равномерной ограниченности ,
• ,
• Теорема Банаха об обратном операторе .

Все пространства Фреше стереотипны . В теории стереотипных пространств двойственными объектами к пространствам Фреше являются пространства Браунера .

Примеры

• Всякое банахово пространство ${\displaystyle X}$ является пространством Фреше.

• Если ${\displaystyle M}$ — σ-компактное локально компактное топологическое пространство , то пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ непрерывных функций на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте является пространством Фреше.

• Если ${\displaystyle M}$ — вещественное гладкое многообразие , то пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ гладких функций на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте по каждой производной является пространством Фреше.

• Если ${\displaystyle M}$ — комплексное многообразие , то пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ голоморфных функций на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте является пространством Фреше.

Литература

• Шефер, Х. Топологические векторные пространства (неопр.) . — Москва: Мир, 1971.
• Робертсон А.П., Робертсон, В.Дж. Топологические векторные пространства (неопр.) . — Москва: Мир, 1967.
• Рудин, У. Функциональный анализ (неопр.) . — Москва: Мир, 1975.