Вариация Фреше
— одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог
вариации функции одного переменного
.
Определение
Вариация
Фреше
определяется как:
-
-
где
— действительнозначная функция, заданная на
-мерном
параллелепипеде
-
— произвольное разбиение параллелепипеда
гиперплоскостями
такими, что
-
-
,
и
,
-
где
,
.
— шаг разбиения;
(
) — приращение функции по
-ой координате;
—
по первым
координатам (
);
(
) произвольным образом.
Применение
Если
, то говорят, что функция
имеет
ограниченную (конечную) вариацию Фреше
на
.
Класс
всех таких функций обозначается через
.
При
этот класс был введён
М. Фреше
в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала
в пространстве непрерывных на квадрате
функций вида
. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде
-
где
,
.
Позднее было показано, что для
-периодических функций класса
(
) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье
. Так, например, если
,
, то
ряда Фурье функции
в каждой точке
сходятся к числу
-
где суммирование распространяется на все
возможных комбинаций знаков
. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог
признака Жордана
.
Литература
См. также
Примечания
-
Frechet М.
Transactions of the American Mathematical Society. — 1915. — v. 16. — № 3. — p. 215—234.
-
Morse M., Transue W.
Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1949. — v. 35. — № 7. — p. 395—399.