Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств .

История

Теорема была доказана Стоуном в 1936 году. Эта теорема послужила отправной точкой в изучении спектральной теории операторов на гильбертовом пространстве .

Пространства Стоуна

Для каждой булевой алгебры B существует топологическое пространство, так называемое пространство Стоуна , обозначемое S ( B ). Точки в S ( B ) являются ультрафильтрами B , то есть гомоморфизмами из B в булеву алгебру из двух элементов. Топология на S ( B ) задаётся замкнутой базой , состоящей из всех множеств вида

${\displaystyle \{x\in S(B)\mid b\in x\},}$

где b является элементом B .

Для каждой булевой алгебры B пространство S ( B ) является компактным , вполне несвязным хаусдорфовым пространством. Такие пространства также называются проконечными .

Верно и обратное: набор подмножеств, которые одновременно открыты и замкнуты в проконечном пространстве X , образуют булеву алгебру.

Формулировка

Теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр. Каждая булева алгебра B изоморфна алгебре подмножеств, которые одновременно открыты и замкнуты в своём пространстве Стоуна S ( B ). Изоморфизм посылает элемент b ∈ B в множество всех ультрафильтров , содержащих b . По построению, это множество открыто и замкнуто.

Ниже приведено уточнение теоремы на языке теории категорий . Это уточнение является одним из первых содержательных примеров двойственности категорий. Доказательство требует аксиомы выбора или её слабой формы.

Уточнение теоремы. Существует двойственность между категорией из Булевых алгебр и категорией проконечных пространств , то есть проективных пределов систем конечных множеств ${\displaystyle F_{i}}$ , ${\displaystyle i\in I}$ , снабженных дискретной топологией .

Эта двойственность влечёт, что каждому гомоморфизму ${\displaystyle A\to B}$ между булевыми алгебрами естественным образом соответствует непрерывное отображение ${\displaystyle S(B)\to S(A)}$ . Иными словами, между этими категориями существует контравариантный функтор .

Вариации и обобщения

• Эта теорема является частным случаем между категориями топологических пространств и частично упорядоченных множеств .
  • Обобщение двойственности Стоуна на категорию булевых пространств (то есть нуль-мерных локально компактных Хаусдорфовых пространств) было получено Г. Д. Димовым.

См. также

• Алгебра множеств
• Экстремально несвязное пространство
• Проконечная группа

Ссылки

• Paul Halmos and Steven Givant (1998) Logic as Algebra . Dolciani Mathematical Expositions No. 21. The Mathematical Association of America .
• Johnstone, Peter T. (1982) Stone Spaces . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5 .
• Marshall H. Stone (1936) " " Transactions of the American Mathematical Society 40 : 37-111.
• G. D. Dimov (2012) Some generalizations of the Stone Duality Theorem . Publ. Math. Debrecen 80 : 255–293.
• H. P. Doctor (1964) The categories of Boolean lattices, Boolean rings and Boolean spaces . Canad. Math. Bulletin 7 : 245–252.
• Stanley N. Burris and H. P. Sankappanavar (1981) Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .