Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle G}$ конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для ${\displaystyle G}$ выполняется в точности одно из следующих утверждений

• Либо ${\displaystyle G}$ почти разрешима , то есть  содержит разрешимую подгруппу конечного индекса .
• Либо ${\displaystyle G}$ содержит подгруппу , изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Следствия

• Линейная группа не аменабельна , тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
  • Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
• Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста .

Вариации и обобщения

Говорят, что группа ${\displaystyle G}$ удовлетворяет альтернативе Титса , если для каждая подгруппы ${\displaystyle H<G}$ почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу . Иногда в определении дополнительно предполагают, что ${\displaystyle H}$ конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

• Гиперболические группы
• Группа классов преобразований поверхности

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• Группа Григорчука ;
• Группа F Томпсона .

О доказательстве

В доказательстве рассматривают замыкание ${\displaystyle {\bar {G}}}$ группы ${\displaystyle G}$ в топологии Зарисского . Если ${\displaystyle {\bar {G}}}$ разрешима, то и группа ${\displaystyle G}$ разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа ${\displaystyle G}$ в компоненте Леви ${\displaystyle {\bar {G}}}$ . Если она некомпактна, то завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе ${\displaystyle G}$ корни единицы, а значит, образ ${\displaystyle G}$ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

См. также

• Альтернатива Жиса — Маргулиса

Примечания

Ссылки

• Tits, J. Free subgroups in linear groups (неопр.) // (англ.) ( . — 1972. — Т. 20 , № 2 . — С. 250—270 . — doi : .