Метрика Титса — метрика определённого типа на абсолюте пространства Адамара . Названа в честь Жака Титса .

Построение

Пусть ${\displaystyle X}$ — пространство Адамара. Обозначим через ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ его абсолют, то есть множество лучей исходящих из одной точки ${\displaystyle p}$ .

Для двух лучей ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ из ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ определяется угол ${\displaystyle \measuredangle _{\infty }(\alpha ,\beta )}$ как предел угла сравнения в треугольнике ${\displaystyle [p\,\alpha (t)\,\beta (t)]}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$ , то есть угла в плоского треугольника с теми же сторонами, что у ${\displaystyle [p\,\alpha (t)\,\beta (t)]}$ при вершине соответствующей ${\displaystyle p}$ .

Угол ${\displaystyle \measuredangle _{\infty }}$ определяет так называемую угловую метрику на ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ , со значениями в интервале ${\displaystyle [0,\pi ]}$ .

Внутренняя метрика ассоциированная с ${\displaystyle \measuredangle _{\infty }}$ называется метрикой Титса; она принимает значения в интервале ${\displaystyle [0,\infty ]}$ .

Замечания

• Метрика Титса совпадает угловой метрикой на парах точек с расстоянием меньше ${\displaystyle \pi }$
• Метрика не зависит от выбора точки ${\displaystyle p}$ .
• Абсолют ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ можно также определить как фактор пространства всех лучей в ${\displaystyle X}$ по параллельности , то есть отношению эквивалентности на лучах определяемое как ${\displaystyle \alpha \parallel \beta }$ если расстояния ${\displaystyle |\alpha (t)-\beta (t)|_{X}}$ ограничены при всех значениях ${\displaystyle t}$ .

Примеры

• Для евклидова пространства , аболют с метрикой Титса изометричен единичной сфере.
• Для пространства Лобачевского метрика Титса дискретна, расстояния между любыми различными точками равно ${\displaystyle \infty }$ .

Свойства

• Абсолют ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ с метрикой Титса является .
• Абсолют произваедения двух пространств Адамара ${\displaystyle \partial _{\infty }(X\times Y)}$ с метрикой Титса изометричен сферическому джойну соответствующих абсолютов ${\displaystyle (\partial _{\infty }X)\star (\partial _{\infty }Y)}$ с метриками Титса.