Interested Article - Пространство Орлича

Пространство Орлича линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций . Является обобщением пространств Лебега . Названы в честь развившего их теорию польского математика Владислава Орлича .

Определение

Определение 1

Пусть — некоторая фиксированная -функция , а — дополнительная к ней -функция; — множество конечной меры.

Пространством Орлича называется совокупность всех измеримых функций , удовлетворяющих условию при всех , таких что .

В пространстве Орлича задана норма Орлича : .

Определение 2

Пусть — некоторая фиксированная -функция.

Пространством Орлича называется множество всех измеримых функций , имеющих конечную норму Люксембурга

Эквивалентность определений

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой выполнены неравенства

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией .

Свойства

  • сепарабельно тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет -условию .
  • Назовем классом Орлича множество таких измеримых функций, для которых Пространство Орлича совпадает с классом Орлича тогда и только тогда, когда удовлетворяет -условию.
  • Пространством назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в . Если удовлетворяет -условию, . В противном случае .
  • является сопряженным пространством к , где и — дополнительные друг к другу -функции.
  • Если , то . Верно и обратное.

Примеры

  • Если то .

Примечания

  1. — функцией называется функция M(u), допускающая представление , где — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: .
  2. Взаимно дополнительными называются — функции , удовлетворяющие уравнениям , где — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: , а определена при равенством .
  3. -условие:
  4. , если найдутся , такие, что

Литература

  • Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит , 1958. — С. 271.
Источник —

Same as Пространство Орлича