Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма .

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений , например, целочисленные решения уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , связанного с теоремой Пифагора , изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней ${\displaystyle k>2}$ уравнение ${\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}$ не имеет решения в натуральных числах ${\displaystyle a,b,c}$ .

В 1769 году Леонард Эйлер , увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу , которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}}$

не имеют решения в натуральных числах.

В 1966 году Леон Дж. Ландер ( англ. Leon. J. Lander ) и Томас Р. Паркин ( англ. Thomas. R. Parkin ) нашли для ${\displaystyle k=5}$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера :

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$

Для ${\displaystyle k=4}$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году . Наименьшее решение, найденное в том же году ( Roger Frye, 1988 ) таково:

${\displaystyle 414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},}$

Однако для ${\displaystyle k=6}$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и предположили , что уравнение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}}$

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если ${\displaystyle k\leq m+n}$ .

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая ${\displaystyle (k,2,1),k>3}$ и отсутствие решений для ${\displaystyle (3,2,1)}$ .

Поиск решений уравнений ${\displaystyle (k,m,n)}$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для ${\displaystyle k=m+n}$ , но и для ${\displaystyle k<m+n}$ . Поиском решений для различных ${\displaystyle (k,m,n)}$ занимаются проекты распределенных вычислений и yoyo@home .

Известные решения для ( k , m , n ), k = m + n

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для ( k , m , n ) при k = m + n :

(4, 2, 2)

${\displaystyle 158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}}$ , бесконечно много решений.

(4, 1, 3)

${\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}}$ , бесконечно много решений.

(5, 1, 4)

${\displaystyle 144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}}$ , известно 2 решения.

(5, 2, 3)

${\displaystyle 14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}}$ , известно 1 решение.

(6, 3, 3)

${\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}}$ , бесконечно много решений.

(8, 3, 5)

${\displaystyle 966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}}$ , известно 1 решение.

(8, 4, 4)

${\displaystyle 3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}}$ , известно 1 решение.

Некоторые решения для ( k , k , 1)

k = 3

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$ .

k = 4

${\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}}$ ( R. Norrie, 1911 )

k = 5

${\displaystyle 19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}}$ ( Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967 )

k = 6

Решения неизвестны.

k = 7

${\displaystyle 127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}}$ ( M. Dodrill, 1999 )

k = 8

${\displaystyle 90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}}$ ( Scott Chase, 2000 )

k ≥ 9

Решения неизвестны.

Примечания

Литература

• Richard K. Guy . Unsolved Problems in Number Theory (неопр.) . — 3rd. — New York, NY: Springer-Verlag , 2004. — С. D1. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7 .

Ссылки

• от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
• от 21 июня 2013 на Wayback Machine
• от 6 мая 2021 на Wayback Machine
• Tito Piezas III: от 1 октября 2011 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• at library.thinkquest.org
• от 11 июля 2015 на Wayback Machine