Interested Article - Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма .

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений , например, целочисленные решения уравнения $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , связанного с теоремой Пифагора , изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней $k>2$ уравнение $a^{k}+b^{k}=c^{k}$ не имеет решения в натуральных числах $a,b,c$ .

В 1769 году Леонард Эйлер , увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу , которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения

{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}

не имеют решения в натуральных числах.

В 1966 году Леон Дж. Ландер ( англ. Leon. J. Lander ) и Томас Р. Паркин ( англ. Thomas. R. Parkin ) нашли для $k=5$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера :

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

Для $k=4$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году . Наименьшее решение, найденное в том же году ( Roger Frye, 1988 ) таково:

414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},

Однако для $k=6$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и предположили , что уравнение

\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если $k\leq m+n$ .

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая $(k,2,1),k>3$ и отсутствие решений для $(3,2,1)$ .

Поиск решений уравнений $(k,m,n)$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для $k=m+n$ , но и для $k<m+n$ . Поиском решений для различных $(k,m,n)$ занимаются проекты распределенных вычислений и yoyo@home .

Известные решения для ( k , m , n ), k = m + n

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для ( k , m , n ) при k = m + n :

(4, 2, 2)

158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}

, бесконечно много решений.

(4, 1, 3)

422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}

, бесконечно много решений.

(5, 1, 4)

144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}

, известно 2 решения.

(5, 2, 3)

14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}

, известно 1 решение.

(6, 3, 3)

23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}

, бесконечно много решений.

(8, 3, 5)

966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}

, известно 1 решение.

(8, 4, 4)

3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}

, известно 1 решение.

Некоторые решения для ( k , k , 1)

k = 3

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

.

k = 4

30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}

( R. Norrie, 1911 )

k = 5

19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}

( Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967 )

k = 6

Решения неизвестны.

k = 7

127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}

( M. Dodrill, 1999 )

k = 8

90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}

( Scott Chase, 2000 )

k ≥ 9

Решения неизвестны.

Примечания

L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72 . — P. 1079 . — doi : .
Noam Elkies. (рум.) // (англ.) ( . — 1988. — Т. 51 , nr. 184 . — P. 825—835 . — doi : . — JSTOR . 31 июля 2021 года.
↑ L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1967. — Vol. 21 , no. 99 . — P. 446—459 . — doi : . — JSTOR .
. Дата обращения: 16 августа 2015. 9 декабря 2013 года.

Литература

Richard K. Guy . Unsolved Problems in Number Theory (неопр.) . — 3rd. — New York, NY: Springer-Verlag , 2004. — С. D1. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7 .

Ссылки