Теорема Морли (или теорема Морлея ) о трисектрисах — одна из интереснейших теорем геометрии треугольника . Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части.

Формулировка

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника .

История

Теорема была открыта в 1904 году Фрэнком Морли в связи с изучением свойств кубических кривых . Тогда он упомянул об этой теореме своим друзьям, а опубликовал её двадцать лет спустя в Японии . За это время она была независимо опубликована как задача в журнале .

Вариации и обобщения

• На описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ${\displaystyle ABC}$ , причем эти точки образуют правильный треугольник . Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея .

• Если рассмотреть также внешние трисектрисы (то есть трисектрисы внешних углов треугольника), то среди точек пересечения этих 12 прямых существует 27 троек точек, образующих правильные треугольники.

• Центр равностороннего треугольника Морли называется первым центром Морли исходного треугольника.

• Равносторонний треугольник Морли перспективен исходному треугольнику; центр перспективы называется вторым центром Морли.

См. также

• Трисекция угла — задача о построении трисектрис угла с помощью циркуля и линейки

Примечания

Литература

• Cletus O. Oakley and Justine C. Baker, "The Morley trisector theorem," Amer. Math. Monthly 85 (1978) 737—745.