Бурручага — воспитанник футбольной школы «Арсенала» из
Саранди
, однако карьеру начал в 1982 году в более знаменитом «Индепендьенте». В 1983 году вместе с «красными дьяволами» стал чемпионом Аргентины, а годом спустя помог своей команде выиграть рекордный седьмой Кубок Либертадорес. Гол Бурручаги в гостевом матче на
Олимпико Монументале
оказался единственным в двухматчевом противостоянии с «
Гремио
»
. В декабре Бурручага вместе с командой в
Токио
обыграл «
Ливерпуль
» и завоевал Межконтинентальный кубок.
В 1985 году Бурручага перешёл в «Нант» и в первом же сезоне был признан лучшим иностранным игроком
чемпионата Франции
. Выступал в этой лиге до 1993 года, причём последний сезон провёл за «Валансьен». В 1993 году был дисквалифицирован
ФИФА
на два года за так называемую «пассивную коррупцию» в деле «
Валансьена
» и «
Олимпик Марселя
». Завершал карьеру футболиста в «Индепендьенте». Во время второго пребывания в стане «короля кубков» (с 1995 по 1998 год) выиграл Суперкубок Либертадорес и Рекопу Южной Америки.