Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных , а точнее вырожденного эллиптического уравнения.

Определения

Вырожденное эллиптическое уравнение

Дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$ ,

заданное в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ , является вырожденным эллиптическим , если для любых двух симметричных матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ таких, что их разница ${\displaystyle Y-X}$ положительно определенна , и любых значений ${\displaystyle x\in \Omega }$ , ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).}$

Примеры

• Уравнение Лапласа

  ${\displaystyle -\Delta u=0}$ .

• Любое уравнение первого порядка.

Вязкостное решение

Полунепрерывная сверху функция ${\displaystyle u}$ , заданная в ${\displaystyle \Omega }$ , называется вязкостным подрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \geqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ , выполняется неравенство

${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.}$

Аналогично полунепрерывная снизу функция ${\displaystyle u}$ , заданная в ${\displaystyle \Omega }$ , называется вязкостным надрешением этого уравнения, если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой гладкой функции ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \leqslant u}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.}$

Непрерывная функция ${\displaystyle u}$ является вязкостным решением вырожденного эллиптического уравнения, если оно является подрешением и надрешением одновременно.

История

Термин впервые появляются в работе и Лионса в 1983 году для решений уравнения Гамильтона — Якоби . Определение фактически дано ранее, в 1980 году. Определение было уточнено в совместной работе всех троих.

Ссылки

Литература

• Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов. (рус.) // ТВП. — 2015. — Т. 60 , № 4 . — С. 802–810 . — doi : .