Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам , природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения , в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры .

Построение аксиоматической теории некоторой структуры — вывод логических следствий из аксиом структуры, без каких-либо других предположений относительно самих рассматриваемых элементов, и, в частности, от всяких гипотез относительно их «природы».

Понятие структуры первоначально было неформальным. В работах Бурбаки построена формальная теория структур, которую предполагалось положить в основания математики, однако в такой роли эта теория не закрепилась.

Основные типы структур

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть весьма разнообразными.

Важнейшим типом структур являются алгебраические структуры . Например, отношение, называемое «законом композиции», то есть отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая математическая структура называется алгебраической структурой. Например, структуры лупы , группы , поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами. Так сложение и умножение на множестве вещественных чисел определяют поле на множестве этих чисел.

Второй важный тип представляют структуры, определённые отношением порядка , то есть структуры порядка . Это отношение между двумя элементами ${\displaystyle x,\;y}$ , которое чаще всего мы выражаем словами « ${\displaystyle x}$ меньше или равно ${\displaystyle y}$ » и которое в общем случае обозначается как ${\displaystyle xRy}$ . В этом случае не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов ${\displaystyle x,\;y}$ как функцию другого.

Третьим типом структур являются топологические структуры , в них через абстрактную математическую формулировку средствами общей топологии реализуются интуитивные понятия окрестности , предела и непрерывности .

Иерархия структур математики

Группа математиков, объединённая под именем Николя Бурбаки , в статье « » (1948) представила математику как трёхуровневую иерархию структур, идущих от простого к сложному, от общего к частному.

На первом уровне вводятся основные (порождающие) математические структуры, среди них в качестве главнейших, порождающих ( фр. les structures-mères ) выделены:

• алгебраические структуры;
• топологические структуры;
• структуры порядка.

В каждом из этих типов структур присутствует достаточное разнообразие. При этом следует различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия.

На второй уровень поставлены сложные математические структуры ( фр. multiples ) — структуры, в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом, а органически скомбинированные при помощи связывающих их аксиом. Например, изучает структуры, определяемые законами композиций и топологической структурой, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными (в рассматриваемой топологии) функциями элементов. Другим примером является алгебраическая топология , которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами, как элементы, над которыми производятся алгебраические операции. Многие из используемых в приложениях структур можно отнести ко второму уровню, например, структура событий связывает частичный порядок со специального рода бинарным отношением.

На третьем уровне — частные математические структуры, в которых элементы рассматриваемых множеств, бывшие в общих структурах совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают такие теории классической математики, как математический анализ функций вещественной и комплексной переменной, дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия .

История

Понятие структуры первоначально использовалось в общей алгебре неформально. Самая известная попытка формализации этого понятия была предпринята Бурбаки (на работы Бурбаки опирается и эта статья); до неё была, например, теория алгебраических структур Ойстина Оре . Бурбаки использовали свою теорию структур как основания математики наряду с теорией множеств . Однако фактически теория структур мало используется даже в их собственных дальнейших работах и в целом не закрепилась в математике . В 1940-е — 1950-е годы накопившиеся представления о сходстве широкого класса алгебраических структур и структур порядка привели к созданию универсальной алгебры и понятия алгебраической системы — множества, наделённого набором операций и отношений (однако не все алгебраические структуры в смысле Бурбаки эффективно выражаются на языке универсальной алгебры). Начиная с 1960-х — 1970-х годов идеи математических структур чаще выражают на языке теории категорий .

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. или в сб. «Математическое просвещение» Вып. 5, 1960. стр. 99—112.;
• Первоисточник: N. Bourbaki «L’Architecture des mathematiques». Les grands courants de la pensee mathematiques (Cahiers du Sud), 1948. — p. 35—47.
• Nicholas Bourbaki . The Architecture of Mathematics. The American Mathematical Monthly. Vol. 57. No. 4. (1950). p. 221—232. (англ.)
• Leo Corry. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. — 2nd ed. — Birkhäuser Basel, 2004. — ISBN 978-3-7643-7002-2 . — ISBN 978-3-0348-7917-0 .