Масса, заряд, импульс и энергия в уравнениях механики сплошной среды
Основные уравнения
механики сплошной среды
– непрерывности, движения и энергии – демонстрируют причины изменения во времени плотностей трех основных механических величин: массы
, импульса
и энергии
.
При этом:
-
первое слагаемое левой части каждого из названных уравнений представляет собой изменение плотности (количества в единице объема) соответствующей величины в единицу времени;
-
второе – результат обмена этой величиной выделенного единичного объема с соседними объемами;
-
третье – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени под действием внешних сил;
-
правая часть – изменение плотности соответствующей величины в единицу времени в результате столкновений частиц в объеме.
При описании газа заряженных частиц одной из форм уравнения непрерывности является закон сохранения заряда в дифференциальной форме, в котором количество вещества представлено не массой
, а зарядом
.
Общими характеристиками массы, заряда, импульса и энергии являются:
Однако, по одному признаку импульс в этом списке стоит особняком. А именно: масса, заряд и энергия – скаляры. Соответственно плотности массы, заряда и энергии – скаляры, плотности потока массы, заряда и энергии – векторы.
Импульс же сам является вектором. Соответственно, плотность импульса есть вектор – полностью описывается тремя величинами. Плотность же потока импульса полностью описывается уже девятью величинами: любая из трех проекций импульса вместе с частицей может переноситься в любом из трех пространственных направлений. Таким образом, плотность потока импульса представляет собой
тензор
второго ранга (кинетический тензор):
,
,
где
-
– количество
-й проекции импульса, которое в единицу времени переносится через единицу поверхности в
-м направлении.
-
– функция распределения частиц по скоростям.
Можно заметить, что половина следа (суммы диагональных компонент) кинетического тензора равна плотности кинетической энергии:
В результате форма записи
уравнения движения
в традиционном представлении отличается от формы записи
уравнений непрерывности
:
и энергии:
.
А именно:
где:
-
– плотность массы;
-
– плотность потока массы, математически тождественная плотности импульса;
-
– среднемассовая скорость;
-
– плотность энергии;
-
– плотность потока энергии;
-
– внутренняя энергия частицы;
-
– внешняя сила, действующая на единицу объема газа;
-
– изменение в единицу времени в результате столкновений (
здесь приведены уравнения для компоненты многокомпонентной среды
).
Можно заметить три основных неудобства последней записи по сравнению с двумя предыдущими:
-
громоздкость;
-
необходимость записи в трех проекциях;
-
привязанность конкретно к декартовым координатам.
Последнее, например, означает, что в зависимости от системы координат, в которых решается задача, запись уравнения движения в проекциях будет иметь разные формы.
Такими же недостатками обладает и запись кинетического тензора в развернутой форме:
и запись последнего слагаемого в приведенном выражении:
где
-
– давление;
-
– компонента
тензора вязких напряжений
Наличие названных недостатков скорее всего можно объяснить тем, что кинетика в физике и тензорный анализ в математике – это сравнительно молодые направления в науке, возникшие уже после того, как
натурфилософия
, фактически, уже разделилась на отдельные отрасли: физику, химию, математику и т.п. В отличие от
Эйлера
,
Гаусса
,
Стокса
физики уже были только физиками, а математики – только математиками.
В результате тензорный анализ в математике, с одной стороны, оказался достаточно отстраненным от проблем современной физики и, с другой стороны, не сформировал еще общепринятой и достаточно компактной символики.
Необходимость выбора
Развитие математического аппарата любой естественной науки часто ставит исследователя перед выбором:
1. Оставаться в кругу
уже определенных категорий, правил и символики, за счет громоздкости, необщности и большого количества выражений
.
2.
Обобщить понятия, упростить и сократить количество выражений за счет введения новых категорий, правил и символики.
Первый выбор оправдан в случае,
когда круг объектов с особенными свойствами узок
и
редко употребляется
в соответствующем направлении науки. В противоположном случае, необходимость дополнительных интеллектуальных усилий в течение определенного времени очень скоро окупается экономией времени и средств представления (бумаги, мела, компьютерной памяти)
в дальнейшем массированном обращении
с соответствующими объектами.
Примером преимущества второго выбора в математике и физике является появление
векторного анализа
, возникшего ввиду трехмерности геометрического пространства.
Первый выбор – использование категорий исключительно скалярного анализа – требовал бы в данном случае использования трех определений в описании положения объекта – различных в различных системах координат (декартовой, цилиндрической или сферической), трех определений в описании изменения положения во времени. При этом использование исключительно скалярной символики означало бы разные правила дифференцирования характеристик положения по времени для получения соответствующих характеристик изменения положения. В каждой задаче вместо одного уравнения движения необходимо было бы записывать три, строго оговаривая при этом систему координат, в которой справедлива такая запись. Точно так же пришлось бы поступать в выражениях для связи потенциальной энергии и силы, характеристик электромагнитного поля и движения частиц и т.п.
Второй выбор – введение понятия
вектора
– означает необходимость усвоения немногих новых определений:
вектор
,
скалярное произведение
,
векторное произведение
и т.п., но легко окупается следующими выгодами:
- вектор сохраняет свою целостность в любой системе координат, в то время как значения проекций меняются;
- правила преобразования положения в скорость, скорости в ускорение как векторов, связь между скоростью и импульсом, характеристиками поля и силой как между векторами сохраняются в различных системах координат.
Наиболее существенную новизну
сравнительно со скалярным анализом представляет здесь само понятие вектора –
нужно просто привыкнуть
к тому, что в геометрии и математике
одна величина
может характеризоваться не одним, а
тремя числами
– по числу пространственных измерений в нашей
Вселенной
. В операциях с кинетическим тензором мы сталкиваемся с названной выше
необходимостью выбора
– по-прежнему оперировать объектами двух типов (векторами и скалярами), описывая перенос импульса
девятью скалярами
или
тремя векторами
(со всеми издержками, названными выше) или ввести понятие и правила операций с новыми объектами, характеризующимися
девятью
числами. Массовость обращений к переносу импульса в механике сплошной среды скорее располагает ко второму выбору. Кроме того, есть соображения, по которым оптимальным здесь становится не просто определение нового класса объектов, но введение некоего
"над-класса"
, к которому равно относятся и скаляры, и векторы и вновь вводимые объекты. Таким "над-классом" в математике и физике являются
тензоры соответствующих рангов
.
Понятие тензора определенного ранга
В нашем случае тензоры являются математическим представлением конкретных физических величин, но не операторами в матричном анализе. Предлагаемая символика и правила относятся именно к такому случаю и не обязательно полностью соответствуют символике матричного анализа.
Тензором определенного ранга
в
-мерном пространстве называют величину, которая полностью описывается
числами – элементами тензора. Предметом механики сплошной среды является
обычное трехмерное пространство
(
), поэтому в дальнейшем мы и будем говорить только о нем. Таким образом, в нашем случае тензором ранга
является величина, которая полностью описывается
элементами.
В таком случае:
-
скаляр
, имеющий один элемент, есть тензор нулевого ранга;
-
вектор
, имеющий три элемента, есть тензор первого ранга.
Появление нового класса объектов требует новой символики. А именно:
-
единственный элемент, из которого состоит скаляр
, не требует индекса в записи значения;
-
каждый из трех элементов
вектора
обозначается индексом
, изменяющимся от 1 до 3 – соответственно числу измерений геометрического пространства;
-
каждый из
элементов
тензора
-го ранга
обозначается
индексами
, изменяющимися от 1 до 3 – в дальнейшем для краткости вместо
будем писать
.
В тензорном анализе,
так же, как и в векторном
, важным является понятие
базиса
, основанное на определении единичного тензора.
Единичным тензором
-го ранга есть тензор
, в котором
равны нулю все элементы, кроме равного единице
-го элемента.
В таком случае:
-
: единичный тензор нулевого ранга есть единица (единичный скаляр);
-
: единичный тензор первого ранга есть орта (единичный вектор).
Операции с тензорами
Для облегчения восприятия правила операций с тензорами покажем сравнительно с правилами аналогичных операций с векторами.
Правило 1
.
Сложение тензоров и умножение тензора на скаляр
Вектор
равен сумме векторов
и
, если элемент вектора
равен сумме соответствующих элементов векторов
и
:
1.1.
.
Прямым следствием
правила сложения векторов
является
правило умножения вектора на скаляр
: вектор
равен произведению вектора
и скаляра
, если элемент вектора
равен произведению соответствующего элемента вектора
и скаляра
:
1.2.
.
Тензор
-го ранга
равен сумме тензоров такого же ранга
и
, если элемент тензора
равен сумме соответствующих элементов тензоров
и
:
1.3.
.
Прямым следствием
правила сложения тензоров
является
правило умножения тензора на скаляр
: тензор
равен произведению тензора
и скаляра
, если элемент тензора
равен произведению соответствующего элемента тензора
и скаляра
:
1.4.
.
Правило 2
.
Запись тензоров как суммы элементов
Вектор
может быть представлен как векторная сумма элементов с использованием орт:
1.5.
.
При этом
нет смысла
говорить о
результате произведения
– единственный смысл записи
состоит в указании, что величине
равен именно
-й элемент вектора .
Тензор
-го ранга
может быть представлен как тензорная сумма элементов с использованием единичных тензоров:
1.6.
.
При этом
нет смысла
говорить о
результате произведения
– единственный смысл записи
состоит в указании, что величине
равен именно
-й элемент тензора
.
Правило 3
.
Инвариантность произведения скаляра и единичного тензора
"Результат" произведения скаляра и орты не зависит от последовательности сомножителей:
1.7.
.
"Результат" произведения скаляра и единичного тензора не зависит от последовательности сомножителей:
1.8.
.
Правило 4
.
Тензорное произведение и представление единичных тензоров через орты
Внимание !!!
Правило 4 является, фактически, единственным новым правилом тензорного анализа, не представленным в векторном анализе.
Тензорным произведением
тензора
-го ранга
и тензора
-го ранга
является тензор
-го ранга
, если
-й элемент тензора
равен произведению
-го элемента тензора
и
-го элемента тензора
:
1.9.
.
Таким образом, тензорное скаляра и тензора произвольного ранга есть, фактически, "простое" произведение скаляра на тензор (1.4).
С учетом (9) единичный тензор
-го ранга может быть представлен как кратное тензорное произведение орт:
1.10.
.
Выражения (1.6) и (1.8) с использованием (1.10) можно записать так:
1.11,
,
1.12.
.
В дальнейшем вместо (1.6) можно использовать запись (1.11) как более удобную в случаях, которые будут названы ниже.
Правило 5
. Произведение тензоров
Существуют три вида произведений тензоров:
тензорное
,
векторное
и
скалярное
. Каждому из произведений соответствует знак: пробел в тензорном, крестик в векторном и точка в скалярном. Кроме того, удобно использование обобщенного знака произведения "
", соответствующего трем различным случаям:
1.13.
" ", " × ", " · "
.
Правило 5 является прямым следствием (1.11) и (1.12) –
скаляры в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений
– знак произведения тензоров фактически относится к
ближайшим ортам
:
1.14.
,
1.15.
.
Правило 6
. Произведение орт
Тензорное, векторное и скалярное произведение орт имеют следующие значения:
1.16.
,
1.17.
,
,
,
,
1.18.
,
где
–
символ Кронекера
:
1.19.
.
Правило 7
. Извлечение элемента из вектора и тензора
Произвольный вектор
в различных выражениях может встречаться не в прямой записи (1.5), а как результат операций с другими векторами или скалярами. При необходимости "извлечения" конкретной проекции вектора
из такой записи можно на основании (1.5) и (1.18) использовать операцию:
1.20.
Аналогично, на основании (11) и (18) можно записать для элемента тензора ранга выше нулевого:
1.21.
.
Дифференциальные операторы в применении к тензорам
Правило 8
. Операторы Гамильтона и Лапласа
Любой из трех знаков (1.13) может использоваться не только в произведениях, но и в обозначениях действия
оператора Гамильтона
, имеющего, как известно, запись:
1.22.
.
Результатом тензорного действия оператора
является
градиент
, векторного –
ротор
, скалярного –
дивергенция
. К сожалению, в большинстве источников отсутствуют общие правила развернутой записи результатов действия оператора
в произвольной (не декартовой) системе координат. Приводятся общие записи в декартовой системе – единственной системе координат с неизменными ортами, а также частные случаи записи для наиболее часто используемых ортогональных криволинейный координат – сферических, цилиндрических.
Правильные результаты в использовании оператора можно, однако, получить, распространив
Правило 5
на скалярные дифференциальные операторы –
скалярные дифференциальные операторы в произведениях можно произвольно перемещать относительно знаков произведений
:
1.23.
.
Таким образом, имеем:
1.24.
;
1.25.
;
1.26.
.
Аналогично (1.24) – (1.26) правило (1.23) в применении к тензору дает:
-
градиент тензора произвольного ранга:
1.27.
;
-
ротор тензора ранга выше нулевого:
1.28.
;
-
дивергенция тензора ранга выше нулевого:
1.29.
.
Обобщенно выражения (1.27) – (1.29) можно записать так:
1.30.
.
Правила дифференцирования производных орт в (1.27) – (1.30) аналогичны правилам дифференцирования произведений скаляров:
1.31.
При этом конкретная система координат представлена просто набором значений производных орт по проекциям координаты
.
В тензорном анализе, как и в векторном, используется также
оператор Лапласа
:
1.32.
.
Результат действия оператора
на произвольный тензор в произвольной ортогональной системе координат можно получить с использованием тех же, что и выше, правил:
1.33.
.
Некоторые характеристики тензоров второго ранга
Тензор
второго ранга может быть представлен как матрица:
1.34.
.
Следом
тензора второго ранга
называют сумму его диагональных элементов:
1.35.
.
Тензор
называют сопряженным тензору
, если элементы тензора
получаются перестановкой индексов элементов тензора
:
1.36.
.
Можно заметить, что:
1.37.
.
Тензор
называют симметричным, если его элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:
1.38.
.
Унитарный тензор
есть тензор второго ранга, недиагональные элементы которого равны нулю, а диагональные – единице:
1.39.
.
Можно показать следующие свойства унитарного тензора:
1.40.
,
1.41.
,
1.42.
,
1.43.
,
1.44.
,
где тензор, сопряженный градиенту вектора
:
1.45.
и
внутреннее произведение
унитарного тензора и вектора
:
1.46.
.
Симметричные тензоры. Операция симметрии
Тензор
произвольного ранга
является симметричным, если перестановка любой пары индексов не изменяет значение компоненты тензора, например:
- для симметричных тензоров 2-го ранга:
1.47.
;
- для симметричных тензоров 3-го ранга:
1.48.
;
- для симметричных тензоров 4-го ранга:
1.49.
и так далее.
Можно заметить, что число независимых комбинаций индексов для тензора
-го ранга равно
.
Любой тензор
произвольного ранга
может быть преобразован в симметричный тензор с помощью
операции симметрии
:
1.50.
,
где
– сумма исходного тензора
и всех тензоров, получаемых путем перестановки индексов его компонент аналогично (1.47) – (1.49).
Можно заметить, что если исходный тензор
уже является симметричным, имеет место
.
Тензорная степень вектора. Бином и дифференциал тензорной степени вектора
Тензор
произвольного ранга
может быть результатом кратного тензорного произведения одного и того же вектора
:
1.51.
.
Для краткости можно использовать символ
тензорной степени вектора
(
итерации вектора
):
1.52.
.
Показатель тензорной степени нужно записывать в скобках
, чтобы не путать тензорный квадрат вектора:
1.53.
с принятым в векторном анализе обозначением квадрата вектора (квадрата модуля):
1.54.
.
Можно убедиться, что:
1.55.
.
В алгебре скаляров существует запись для степени суммы скаляров (
бином Ньютона
):
1.56.
.
С использованием принятых здесь обозначений можно показать для тензорной степени суммы векторов:
1.57.
.
Для дифференциала степени скаляра известно, что:
1.58.
.
Можно показать, что для дифференциала тензорной степени вектора:
1.59.
.
Кратное скалярное произведение
В операциях с тензорами часто встречается необходимость кратного скалярного произведения тензоров, для которого можно использовать следующую символику:
1.60.
,
то есть:
1.61.
и
1.62.
.
Например, с использованием символа кратного скалярного произведения выражение (1.21) приобретает более компактную форму:
1.63.
Уравнение движения. кинетический тензор и тензор вязких напряжений
Использование предложенной символики и правил позволяет записать уравнение движения в универсальной и компактной форме без привязки к конкретной системе координат:
1.64.
Аналогично, для развернутой формы записи кинетического тензора имеем:
1.65.
и для тензора вязких напряжений:
1.66.
.
Следует отметить, что последнее выражение, так же как и выражение для кондуктивной составляющей плотности потока энергии (теплопроводность):
1.67.
представляют собой приближенные формы, применимые только при описании относительно плотных средств, когда производными величин
и
по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с их изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений.
Одним из часто встречающихся недоразумений, связанных с "урезанностью" (1.66) и (1.67) является представление о том, что причинам вязкого переноса импульса и теплопроводности являются переменность среднемассовой скорости и температуры в пространстве. Аналогично, в диффузионном приближении, когда производными среднемассовой скорости по времени и координатам можно пренебречь по сравнению с ее изменением в единицу времени в единице объема в результате столкновений, причиной течения называют переменность давления в пространстве.
На самом деле, с учетом отброшенных в обоих названных случаях слагаемых течение, теплопроводность, вязкий перенос импульса, переменность скорости, температуры и давления являются следствиями общей в каждом из названных случаев причины. Например: изменение среднемассовой скорости и давления – как следствия переменности сечения канала в реактивных системах.
Уравнения моментов функции распределения
Механические моменты и моменты функции распределения
Основные уравнения
газодинамики
представляют собой
уравнения моментов
функции распределения частиц по скоростям
. Функция
2.1.
,
где
-
– элемент объема в пространстве координат;
-
– элемент объема в пространстве скоростей;
-
– количество частиц в элементе объема
в пространстве координат и элементе объема
в пространстве скоростей.
Инструментом для отыскания функции
является
кинетическое уравнение
:
2.2.
,
где
-
– сила, действующая на частицу сорта
, имеющую скорость
;
-
–
оператор Гамильтона
в пространстве скоростей;
-
– интеграл столкновений – изменение
в единицу времени в результате столкновений.
Основные механические характеристики частицы представляют собой
моменты массы
, где
момент массы
порядка
определяется выражением:
2.3.
.
Например:
-
момент массы 0-го порядка
представляет собой просто массу частицы;
-
момент массы 1-го порядка
представляет собой импульс частицы;
-
момент массы 2-го порядка
представляет собой тензор 2-го ранга, не имеющий специального названия, но половина следа которого
есть кинетическая энергия частицы,
Основные газодинамические параметры представляют собой
моменты функции распределения
:
2.4.
,
где
-
– концентрация (количество частиц в единице объема);
-
– символ осреднения по скоростям.
Например:
-
момент 0-го порядка
представляет собой
плотность массы
(массу единицы объема);
-
момент 1-го порядка
представляет собой плотность импульса (количество импульса в единице объема), количественно равную плотности потока массы (количеству массы, в единицу времени переносимое через единицу поверхности);
-
момент 2-го порядка
представляет собой плотность потока импульса (
кинетический тензор
, количество импульса, в единицу времени переносимое через единицу поверхности), половина следа которого
есть плотность энергии (количество энергии в единице объема);
-
момент 3-го порядка
представляет собой тензор 3-го ранга, не имеющий специального названия, но половина вектор-следа которого
равна плотности потока энергии (количеству энергии, в единицу времени переносимое через единицу поверхности).
приведено в
R. Fitzpatrick
, но для моментов, отнесенных к единице массы, и с записью только для следа-вектора момента третьего порядка
.
Уравнения моментов функции распределения
Уравнение момента
-го порядка функции распределения частиц по скоростям может быть получено умножением всех слагаемых кинетического уравнения (2.2) на момент массы
-го порядка с последующим интегрированием всех слагаемых по всем значениям скорости.
В результате в применении к заряженной компоненте газа возникает уравнение следующего общего вида:
2.5.
,
где
– изменение момента в единицу времени в результате столкновений:
2.6.
.
В зависимости от порядка
можно записать следующие случаи для уравнения (2.5):
-
при
=0 –
уравнение непрерывности
:
2.7.
;
-
при
=1 –
уравнение движен
ия:
2.8.
;
-
при
=2 –
уравнение потока импульса
:
2.9.
;
-
при
=3 –
уравнение моменте третьего порядка
:
2.10.
.
Незамкнутость системы уравнений моментов функции распределения. Уравнения статических моментов
На основе анализа уравнений (2.5) – (2.10) можно заметить, что система уравнений моментов функции распределения является принципиально незамкнутой – при записи уравнения для очередного неизвестного момента
-го порядка, во втором слагаемом левой части возникает дивергенция момента порядка
.
В любом описании система уравнений газодинамики замыкается
приближенно
с использованием предположений того или иного уровня точности.
Оставляя пока открытым вопрос о незамкнутости системы уравнений моментов функции распределения, можно показать возможность ее иного представления с использованием записей
статических моментов
.
Сопутствующей системой
координат называют инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент в данной точке среднемассовая скорость компоненты равна нулю. Скорость частицы в сопутствующей системе (хаотическая скорость) может быть представлена так:
2.11.
.
При этом в соответствии с определением среднемассовой скорости
имеем:
2.12.
.
Таким образом, первый момент (плотность потока частиц, плотность импульса) в сопутствующей системе равен нулю по определению.
Моменты функции распределения в сопутствующей системе называются статическими моментами и могут находиться подстановкой
вместо
в выражения для моментов функции распределения:
2.13.
,
2.14.
,
2.15.
,
где
-
–
тензор
давления компоненты, равный кинетическому тензору
в сопутствующей системе координат;
-
– третий статический момент, равный третьему моменту
в сопутствующей системе координат;
-
– четвертый статический момент, равный четвертому моменту
в сопутствующей системе координат.
Тензор
можно условно называть
потоком давления
.
Можно показать следующие связи между величинами полных и статических моментов:
2.16.
,
2.17.
,
2.18.
.
При этом вместо уравнений потока импульса (2.9) и третьего момента (2.10) можно использовать
уравнение давления
:
2.19.
и
уравнение потока давления
:
2.20.
,
где
и
– изменения
и
в единицу времени в результате столкновений, равные:
2.21.
2.22.
.
Можно заметить, что половина следа тензора
представляет собой кондуктивную составляющую плотности потока энергии:
2.23.
.
Следует также отметить, что понятие
тензора вязких напряжений
является
реликтом
, связанным с попыткой представления единичного объема газа как материального тела, изменение импульса которого происходит в результате действия неких сил.
На самом деле все три слагаемые в (1.65) соответствуют переносу импульса
вместе с частицами
, а не результата
обмена импульсами
(действия сил). Поэтому предпочтительным является представление кинетического тензора в виде (2.16) или в виде:
2.24.
,
где
– тензор вязкости, равный:
2.25.
.
Поток вектора в математике и физике принято считать положительным, если он направлен наружу из выделенного объема, а силу в физике - положительной, если она направлена внутрь. Этим и объясняется разница в знаках
между тензором вязкости (как составляющей плотности потока импульса
вместе с молекулами
и
тензором вязких напряжений
как "силой", действующей на объем.
Уравнение вида (2.19) приведено, например в книге
Б. Росси
и С. Ольберта "
"
, но в форме уравнения для компоненты тензора давления, а не в нашем компактном виде и без каких-либо рекомендаций о способах отыскания тензора
.
Приближение третьего ранга
Как уже сказано, система уравнений моментов функции распределения принципиально незамкнута. Замыкание достигается приближенно в зависимости от степени анизотропии функции распределения в сопутствующей системе координат, которую считают необходимым учесть в конкретной решаемой задаче.
Уравнения (2.7), (2.8), (2.19) - (2.22) содержат тензоры от 0-го до 3-го ранга, необходимые для расчета характеристик устройства с учетом, в том числе и диссипативного переноса импульса и энергии. Проблему представляет тензор 4-го ранга
. При этом, моменты четных рангов не равны нулю даже при изотропном по
распределении.
Например, при
максвелловском распределении
имеет место равенство:
2.26.
.
В работе
предложено следующее приближенное обобщение зависимости (2.26):
2.27.
.
В таком представлении уравнение (2.20) приобретает вид
2.28.
,
то есть не содержит уже новых неизвестных, что позволяет приближенно замкнуть систему на уровне моментов от 0-го до 3-го ранга.
Найдя след каждого слагаемого в (2.19) можно показать для скаляра давления
:
2.29.
.
С учетом (2.19), (2.29) для тензора вязкости можно записать:
2.30.
.
Найдя след каждого слагаемого в (2.28) с учетом (2.23) и подставляя
(как при
максвелловском распределении
) можно показать для теплопроводности:
2.31.
.
Для однородного газа правые части (2.30) и (2.31) могут быть представлены так
:
2.32.
,
2.33.
,
где
– эффективное время передачи давления
.
Подстановка (2.32), (2.33) в (2.30) и (2.31) дает для однородного газа:
2.34.
,
2.35.
.
Граничные условия и характеристики столкновений
Можно заметить, что "классические" выражения для
вязкости
и
теплопроводности
можно получить из (2.34) и (2.35), оставляя в левых частях
только последние слагаемые.
Однако в разреженных газах, где роль столкновений в объеме мала, нельзя пренебрегать слагаемыми, связанными с изменением диссипативных характеристик в пространстве и во времени. В отличие от "классических" полные записи являются дифференциальными по искомым параметрам, а значит для их решения необходимы граничные условия.
Названные условия должны отражать факторы изотропии или анизотропии в процессах на границе газа (или плазмы).
Например, на границе плазмы с поверхностью или окружающей нейтральной средой существует
пространственный слой заряда
(
ленгмюовский слой
), по своей природе
неоднородный и нестационарный
. Отражение электронов от потенциального барьера в этом слое не является
зеркальным
- происходит релаксация импульса и трансформация моментов функции распределения высоких рангов.
Вопрос формулировки граничных условий с учетом названного процесса решался в работах
.
Актуальным остается вопрос
о записи правых частей для уравнений моментов порядка выше 1 с учетом
упругих
и
неупругих
столкновений в объеме.
См. также
Литература
-
Речкалов В.Г.
: Учебное пособие для вузов [текст]/ В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с.
Примечания
-
↑
.
// Авиационно-космическая техника и технология. — 2013. —
№ 7 (104)
. —
С. 117-120
. —
ISSN
.
28 августа 2016 года.
-
Б. Росси, С. Ольберт.
// Москва, Атомиздат. — 1974. —
ISSN
.
-
↑
Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский.
// Москва: Наука.
28 августа 2016 года.
-
S h . R o s h a n p u r.
// Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 2013. —
№ 4/5 ( 64 )
. —
С. 36-39
. —
ISSN
.
16 сентября 2016 года.
-
Le Quang Quyen, Ngo Dai Phong, S. Yu. Nesterenko, S. Roshanpour.
// IEPC-2013-411.
28 августа 2016 года.
-
А.В. Лоян, С.Ю. Нестеренко, Ш. Рошанпур, А.И.Цаглов.
// Авиационно-космическая техника и технология. — 2011. —
№ 10(87)
. —
С. 203-206
. —
ISSN
.
17 сентября 2016 года.