Уравнение Лиенара — дифференциальное уравнение , часто использующееся в теории колебаний и динамических систем . Названо в честь французского физика А. Лиенара .

Определение

Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — две гладкие функции в пространстве ${\displaystyle R^{3}}$ . Пусть ${\displaystyle g}$ — нечётная функция , а ${\displaystyle f}$ — чётная . Тогда уравнение вида

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$

называется уравнением Лиенара.

Кроме того, уравнение Лиенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка , сделав замену ${\displaystyle v={dx \over dt}}$ . Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: ${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля ${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$ имеет вид уравнения Лиенара при ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)=\mu (1-x^{2})\\g(x)=x\end{matrix}}\right.}$ .

Связанные определения

Система Лиенара

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений .

Пусть

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$ ;

${\displaystyle x_{1}:=x}$ ;

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$ .

Тогда система вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

называется системой Лиенара.

Теорема Лиенара

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат , если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• ${\displaystyle g(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x>0}$ ;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;}$
• ${\displaystyle F(x)}$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра ${\displaystyle p}$ , причём

${\displaystyle F(x)<0}$ при ${\displaystyle 0<x<p}$ и

${\displaystyle F(x)>0}$ и монотонна при ${\displaystyle x>p}$ .

См. также

• Осциллятор

Примечания