В теории динамических систем , седлоузловая бифуркация — локальная бифуркация , при которой пара особых точек ( устойчивая и неустойчивая ) сливаются в полуустойчивую особую точку (седлоузел), затем исчезающую. Единственная бифуркация, которая встречается в типичных однопараметрических семействах векторных полей на прямой неустранимым образом (т.е. является типичной бифуркацией коразмерности 1 ).

Нормальная форма

анимация

Рассмотрим векторное поле на прямой, имеющее особую точку. Если особая точка невырождена ( производная векторного поля в ней отлична от 0), по теореме о неявной функции , она сохраняется при малых возмущениях, и бифуркации не происходит. Таким образом, простейший случай, интересный с точки зрения теории бифуркаций: первая производная равна нулю. В типичном случае, вторая производная ненулевая. Раскладывая векторное поле в ряд Тейлора и меняя при необходимости систему координат, можно считать, что коэффициент при ${\displaystyle x^{2}}$ равен -1. В этом случае векторное поле имеет вид:

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)}$

Поскольку особая точка вырождена, векторное поле (1) не является структурно устойчивым : сколь угодно малым возмущением можно уничтожить особую точку или «развалить» её на две. Оказывается, любое невырожденное малое возмущение этого векторного поля в окрестности особой точки 0 (топологически) эквивалентно однопараметрическому семейству

${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)}$

Иными словами, это семейство будет для уравнения (1). Семейство (2) является нормальной формой седлоузловой бифуркации.

Сценарий бифуркации

Рассмотрим семейство (2). Возможно три случая:

• При ${\displaystyle \varepsilon >0}$ векторное поле имеет две особые точки: ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {\varepsilon }}}$ . Одна из них ( ${\displaystyle x=+{\sqrt {\varepsilon }}}$ ) является устойчивой, другая ( ${\displaystyle x=-{\sqrt {\varepsilon }}}$ ) — неустойчивой.
• При ${\displaystyle \varepsilon =0}$ векторное поле имеет единственную полуустойчивую негиперболическую особую точку 0.
• При ${\displaystyle \varepsilon <0}$ векторное поле не имеет особых точек.

Таким образом, седлоузловая бифуркация может быть описана как процесс рождения полуустойчивой особой точки и последующего её распадения на устойчивую и неустойчивую, или наоборот — как процесс слияния устойчивой и неустойчивой особой точки в полуустойчивую с последующим её исчезновением.

Если рассматривать двумерное фазовое пространство и к уравнению (2) добавить уравнение ${\displaystyle {\dot {y}}=-y}$ , при ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , особая точка ${\displaystyle ({\sqrt {\varepsilon }},0)}$ будет устойчивым узлом , а особая точка ${\displaystyle (-{\sqrt {\varepsilon }},0)}$ — седлом . Сливаясь при ${\displaystyle \varepsilon =0}$ , они образуют особую точку с одним нулевым и одним ненулевым собственным значением , то есть . Это и объясняет название бифуркации.

Литература

• Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М. : МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5 .