Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств , впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Формулировка

Любое отношение частичного порядка ${\displaystyle \leqslant }$ , заданное на некотором множестве ${\displaystyle X}$ , может быть продолжено до отношения линейного порядка .

Доказательство

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора ( леммы Куратовского — Цорна ).

Обобщения и усиления

Теорема Душника — Миллера

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай групп

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп , колец и других алгебраических систем , на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком . В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ группы ${\displaystyle G}$ тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы ${\displaystyle G}$ , когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ в ${\displaystyle G}$ ( ${\displaystyle a_{i}\neq e}$ ) можно так подобрать знаки ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}}$ ( ${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$ или ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$ ), что

${\displaystyle P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .}$

Здесь

${\displaystyle S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})}$ — инвариантная подполугруппа , порожденная элементами ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ ,

${\displaystyle P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\}}$ — положительный конус отношения ${\displaystyle \leqslant }$ .

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка .

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ группы ${\displaystyle G}$ тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из ${\displaystyle a\notin P}$ следует, что для каждого конечного множества элементов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}}$ в ${\displaystyle G}$ ( ${\displaystyle a_{i}\neq e}$ ) существуют такие подходящие знаки ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}}$ ( ${\displaystyle \varepsilon _{i}=1}$ или ${\displaystyle \varepsilon _{i}=-1}$ ), что

${\displaystyle P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .}$

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \leqslant }$ изолирован, то есть из ${\displaystyle a^{n}\geqslant e}$ для некоторого натурального числа ${\displaystyle n}$ следует ${\displaystyle a\geqslant e}$ .

Случай векторных пространств

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

Ссылки

• Шпильрайн, Е. (1930), , Fundamenta Mathematicae , 16 : 386—389, ISSN от 6 февраля 2012 на Wayback Machine .
• Dushnik, Ben; Miller, E. W. (1941), , American Journal of Mathematics , 63 (3): 600–610, doi : , ISSN , MR : .
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М. : Мир, 1965. — 342 с.

См. также

• Частично упорядоченное множество