Индуктивный предел (или прямой предел , копредел ) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии , а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект ${\displaystyle X}$ по последовательности (индексированной направленным множеством ) однотипных объектов ${\displaystyle X_{i}}$ и набору отображений ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$ , ${\displaystyle i\leqslant j}$ . Для индуктивного предела обычно используется обозначение

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$ .

Мы дадим определение для алгебраических структур , а затем — для объектов произвольной категории .

Определение

Алгебраические объекты

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы , кольца , модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть ${\displaystyle I}$ — направленное множество с отношением предпорядка ${\displaystyle \leqslant }$ и пусть каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ сопоставлен алгебраический объект ${\displaystyle X_{i}}$ , а каждой паре ${\displaystyle (i,\;j)}$ , ${\displaystyle i,\;j\in I}$ , в которой ${\displaystyle i\leqslant j}$ , сопоставлен гомоморфизм ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$ , причём ${\displaystyle f_{ii}}$ — тождественные отображения для любого ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ из ${\displaystyle I}$ . Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой .

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей ${\displaystyle X_{i}}$ по отношению эквивалентности:

${\displaystyle \varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .}$

Здесь ${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}\in X_{j}}$ эквивалентны, если существует такое ${\displaystyle k\in I}$ , что ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})}$ . Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}$ .

Из этого определения легко получить канонические морфизмы ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$ , отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на ${\displaystyle X}$ можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства . А именно, прямой предел направленной системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — это объект ${\displaystyle X}$ категории, такой что выполняются следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\to X}$ , что ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$ ;
2. для любого семейства отображений ${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to Y}$ , в произвольное множества ${\displaystyle Y}$ , для которого выполнены равенства ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$ , существует единственное отображение ${\displaystyle u:X\to Y}$ , что ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i}}$ , для всех ${\displaystyle i\in I}$ .

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры

• На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным , то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
• Пусть p — простое число . Рассмотрим направленную систему из групп Z / p ⁿ Z и гомоморфизмов Z / p ⁿ Z → Z / p ^{n +1} Z , индуцированных умножением на p . Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы , порядок которых — некоторая степень p . Их группа по умножению называется группой Прюфера Z ( p ^∞ ).
• Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C . Зафиксируем точку x в X . Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению ( U ≤ V если U содержит V ). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему ( F ( U ), r _{U , V} ), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается F _x .
• Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением соответствующему множеству-носителю.

Литература

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC