Ядерный оператор — класс компактных операторов в банаховом пространстве

Ядерный оператор в Банаховом пространстве

Пусть ${\displaystyle E,F}$ - банаховы пространства . Непрерывный линейный оператор ${\displaystyle u:E\to F}$ называется ядерным , если найдется такое абсолютно суммируемое семейство ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in I}}$ линейных непрерывных операторов из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ с одномерным образом, что ${\displaystyle u=\sum _{n\in I}v_{n}}$ . Множество всех ядерных операторов из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ будем обозначать через ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ .

Простейшие свойства

• Множество ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ образует подпространство в пространстве всех непрерывных линейных операторов из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ . Точная нижняя грань сумм ${\displaystyle \sum _{n\in I}\|v_{n}\|}$ по всевозможным представлениям оператора ${\displaystyle u\in {\mathcal {N}}(E,F)}$ в виде ${\displaystyle u=\sum _{n\in I}v_{n}}$ , где операторы ${\displaystyle v_{n}}$ имеют ранг ${\displaystyle 1}$ , является нормой на пространстве ядерных операторов.
• Пространство ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ банахово. Если ${\displaystyle E',F}$ сепарабельны , то ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ тоже сепарабельно.

• Все конечномерные операторы ядерны, и их множество плотно в ${\displaystyle {\mathcal {N}}(H,K)}$ . В свою очередь, ядерные операторы компактны.

• Ядерные операторы образуют . В частности, если ${\displaystyle u:E\rightarrow F}$ и ${\displaystyle v:F\rightarrow G}$ - непрерывные операторы в банаховых пространствах и хотя бы один из них ядерный, то их композиция ${\displaystyle vu}$ также ядерна.
• Сопряженный оператор к ядерному также ядерный.

Ядерный оператор в Гильбертовом пространстве

Пусть ${\displaystyle T:H\to K}$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами. . Для ${\displaystyle T}$ можно найти сингулярное разложение , т.е. ортонормированные системы ${\displaystyle \{e_{1}^{'},e_{2}^{'},...\}\subset H}$ , ${\displaystyle \{e_{1}^{''},e_{2}^{''},...\}\subset K}$ и последовательность неотрицательных чисел ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ так, что ${\displaystyle Tx=\sum _{n}s_{n}(x,e_{n}^{'})e_{n}^{''}}$ .
${\displaystyle T}$ является ядерным тогда и только тогда, когда для его ${\displaystyle s}$ -чисел выполнено неравенство: ${\displaystyle \sum _{n}s_{n}<\infty }$
В Гильбертовом пространстве ядерная норма приобретает вид: ${\displaystyle ||T||_{\mathcal {N}}=\sum _{n}s_{n}}$ .

След ядерного оператора

Если ${\displaystyle H}$ - гильбертово пространство, то для ${\displaystyle T\in {\mathcal {N}}(H)={\mathcal {N}}(H,H)}$ можно ввести понятие, естественно обобщающее понятие матричного следа оператора в конечномерном пространстве:

${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\sum _{n}(Te_{n},e_{n})}$ ,
где ${\displaystyle \{e_{n}\in H\}_{n\in I}}$ - ортонормированный базис в ${\displaystyle H}$ . От выбора базиса число ${\displaystyle \operatorname {Tr} T}$ не зависит.

Свойства следа

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} T}$ - линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {N}}(H)}$ , его норма равна ${\displaystyle 1}$ .
• ${\displaystyle |\operatorname {Tr} T|\leq ||T||_{\mathcal {N}}}$ , равенство достигается при ${\displaystyle T\geq 0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tr} T^{*}={\overline {\operatorname {Tr} T}}}$ .
• ${\displaystyle \operatorname {Tr} TR=\operatorname {Tr} RT}$ , если ${\displaystyle T,R}$ - линейные непрерывные операторы и ${\displaystyle TR,RT\in {\mathcal {N}}(H)}$ .
• Всякий линейный непрерывный функционал в ${\displaystyle {\mathcal {N}}(H,H)}$ представим единственным образом в виде: ${\displaystyle l(T)=\operatorname {Tr} TQ}$ , где ${\displaystyle Q}$ - линейные непрерывные операторы .

Примеры

• Предположим ${\displaystyle f:H_{1}\to H_{2}}$ и ${\displaystyle g:H_{2}\to H_{3}}$ являются операторами Гильберта — Шмидта между Гильбертовыми пространствами . Тогда оператор ${\displaystyle g\circ f:H_{1}\to H_{3}}$ ядерный оператор.
• Оператор обратный к оператору Штурма-Лиувилля на отрезке - ядерный.

Литература

• А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8 .
• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7 .

См. также

• Компактный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта