Interested Article - Делимая группа

Делимая группа — это группа $G$ , такая что для любых $n\in \mathbb {N}$ и $g\in G$ уравнение

x^{n}=g

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой , а условие записывается в аддитивной нотации как $nx=g$ .

Группа $A$ называется $p$ -делимой ( $p$ — простое число ), если для любого $a\in A$ разрешимо в $A$ уравнение $px=a$ .

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами , которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры

Группа $(\mathbb {Q} ,+)$ всех рациональных чисел ;
$p$ -примарная квазициклическая группа $(\mathbb {Z} _{p^{\infty }},+)$ , то есть группа, порожденная счетным набором элементов $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$ , удовлетворяющих условию

pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots

Свойства делимых групп

Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она $p$ -делима при каждом простом $p$ .
Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
- Следовательно, делимые абелевы группы являются инъективными объектами в категории абелевых групп ( $\mathbb {Z}$ -модулей). Это же утверждение верно и в категории модулей над любой областью главных идеалов .
Любая абелева группа $A$ разлагается в прямую сумму $A=D\oplus R$ , где $D$ — делимая группа (она называется делимой частью группы $A$ ), а $R$ — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

Если $A$ — произвольная делимая абелева группа, то

A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A)}\mathbb {Z} _{p^{\infty }}

.

Связанные определения

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D -группой . Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения .