Факторно делимая абелева группа ( англ. quotient divisible abelian group ) — абелева группа ${\displaystyle A}$ , которая не содержит подгрупп вида ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{\infty }}}$ , но содержит свободную подгруппу ${\displaystyle F}$ конечного ранга, такую что ${\displaystyle A/F}$ — делимая периодическая группа.

Всякий базис свободной группы ${\displaystyle F}$ называется базисом факторно делимой группы ${\displaystyle A}$ .

Примеры

• Любая свободная абелева группа конечного ранга (то есть группа вида ${\displaystyle \bigoplus \limits _{m}\mathbb {Z} }$ ) и любая делимая абелева группа без кручения конечного ранга (то есть группа вида ${\displaystyle \bigoplus \limits _{m}\mathbb {Q} }$ ) являются факторно делимыми.
• Группа вида ${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Z} _{m}}$ является факторно делимой.
• Абелева группа без кручения ${\displaystyle A}$ ранга 1 является факторно делимой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ имеет идемпотентный тип.

История

Впервые факторно делимые группы были введены Бомоном и Пирсом в 1961 году в классе абелевых групп без кручения. В 1998 году Уиклесс и Фомин обобщили это понятие на случай смешанных абелевых групп.

Они доказали, что категория факторно делимых групп с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов двойственна категории абелевых групп без кручения конечного ранга с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов.

Факторно делимые группы ранга 1

Пусть ${\displaystyle p}$ — произвольное простое число. Число ${\displaystyle m}$ называется ${\displaystyle p}$ - ковысотой элемента ${\displaystyle a}$ абелевой группы ${\displaystyle A}$ , если ${\displaystyle m}$ — наименьшее целое неотрицательное число, такое что ${\displaystyle p^{m}a}$ делится в группе ${\displaystyle A}$ на любую натуральную степень числа ${\displaystyle p}$ . Если такого числа ${\displaystyle m}$ не существует, то говорят, что элемент ${\displaystyle a}$ имеет бесконечную ${\displaystyle p}$ -ковысоту.

Последовательность ${\displaystyle p}$ -ковысот ${\displaystyle (k_{p})}$ элемента ${\displaystyle a\in A}$ , занумерованную простыми индексами, называется кохарактеристикой элемента ${\displaystyle a}$ и обозначается ${\displaystyle cochar(a)}$ .

Пусть ${\displaystyle A}$ — факторно делимая группа ранга 1 и ${\displaystyle a}$ — некоторый ее базисный элемент, то есть ${\displaystyle A/\langle a\rangle }$ — делимая периодическая группа. Тогда

• ${\displaystyle cochar(a)\leqslant cochar(b)}$ для любого элемента ${\displaystyle b\in A}$ ;
• ${\displaystyle cochar(a)=cochar(b)}$ для любого другого базисного элемента ${\displaystyle b\in A}$ .

В связи с этим кохарактеристикой факторно делемой группы ранга 1 называют кохарактеристику любого ее базисного элемента.

Теорема : Две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики совпадают.

Примечания

Литература

• Давыдова О. И. // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13, № 3 . — С. 25—33 .
• Beaumont R., Pierce R. // Illinois Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 5. — P. 61—98.
• Fomin A. A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1998. — Vol. 126, no. 1. — P. 45—52.