Единица в теории колец — двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо , содержащее единицу, называется кольцом с единицей . Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа ) или иногда (например, в матричной алгебре ), латинской буквой I или E .

Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.

Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.

Единица, нуль и теория категорий

В зависимости от алгебраической структуры и её точного определения равенство 1 = 0 может быть как запрещено, так и разрешено, однако там, где такое равенство имеет место, объект тривиален . Поле имеет единицу по определению и требуется 1 ≠ 0 , так что всякое поле содержит как минимум два различных элемента. В категории Ring колец с единицей тривиальное кольцо является терминальным объектом .

Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.

Обратимость

Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

${\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1}$

${\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1}$

Из ассоциативности умножения следует, что в таком случае v ₁ = v ₂ , откуда опять-таки следует, что выбор единственен.

Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами ( англ. unity , фр. unité ), но это понятие шире, нежели конкретный нейтральный элемент 1 . Например, в поле обратим всякий элемент, отличный от нуля.

Идемпотентность

Если ${\displaystyle e\in R}$ — идемпотент в кольце, и идеалы ${\displaystyle eR}$ и ${\displaystyle Re}$ совпадают, то e является там (в подкольце) единицей.

Добавление единицы

Любую алгебру над коммутативным кольцом , даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность , добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:

${\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}$

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.

С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

В градуированных алгебрах

В градуированной алгебре , единица (если существует) обязана иметь степень 0.

Примеры

• 1 (число) : в целых , рациональных , действительных , и других числах
• Единичная матрица : см. умножение матриц
• Тождественный оператор в операторных алгебрах
• Многочлен 1 (нулевой степени) в кольце многочленов