В теории колец , простой модуль (также используется название «неприводимый модуль») над кольцом R — это модуль над R , не имеющий ненулевых собственных подмодулей . Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом (ненулевым элементом), совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины , в этом смысле они похожи на простые группы .

Примеры

• Простой Z -модуль — это абелева группа , которая не имеет подгрупп, то есть группа простого порядка Z _p .
• Идеал I кольца R прост как модуль над этим кольцом тогда и только тогда, когда этот идеал минимален (не содержит других идеалов, кроме нулевого). Соответственно, факторкольцо R/I просто тогда и только тогда, когда идеал I максимален .
• Любой простой R -модуль изоморфен фактормодулю R/m , где m — некоторый максимальный идеал кольца R . Действительно, простой модуль порождается ненулевым элементом x , то есть существует сюръективный гомоморфизм R → M , отправляющий r в rx . Ядро этого гомоморфизма — идеал в кольце R , остается применить теорему о гомоморфизме. Предыдущее свойство показывает, что этот идеал максимален.
• Если k — поле и G — группа, то представления этой группы — это в точности левые модули над групповым кольцом k [ G ]. Простые модули в данном контексте известны как неприводимые представления . Основная цель теории представлений — описание всех неприводимых представлений группы.

Свойства

Каждый простой модуль является неразложимым , обратное в общем случае неверно. Также простой модуль является циклическим .

Пусть M и N — модули над одним и тем же кольцом и f : M → N — гомоморфизм модулей. Если M прост, то f либо является нулевым, либо инъективен . Действительно, ядро гомоморфизма должно быть подмодулем. Если же и N прост, то f либо нулевой, либо является изоморфизмом. Следовательно, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом . Этот результат известен как лемма Шура .

Теорема плотности Джекобсона

Важное достижение теории простых модулей — теорема Джекобсона о плотности (1945). Она утверждает, что

Пусть U — простой R-модуль, обзначим D = End _R (U). Пусть A — произвольный D-линейный оператор на U и X — конечное D-линейно независимое подмножество U. Тогда существует элемент r кольца R, такой что x·A = x·r для всех x в X.

Другими словами, всякое ненулевое простое кольцо, обладающее минимальными правыми идеалами, изоморфно плотному кольцу линейных преобразований конечного ранга некоторого векторного пространства над некоторым телом .

В частности, любое можно рассматривать как кольцо D -линейных операторов на некотором пространстве.

Из теоремы плостности следует теорема Веддербёрна о том, что правое артиново простое кольцо изоморфно кольцу матриц n на n над телом . Также она является следствием теоремы Артина — Веддербёрна о том, что полупростые кольца изоморфны произведению колец матриц.

См. также

• Полупростые модули — модули, которые можно разложить в прямую сумму простых

Примечания

• I.N. Herstein. Noncommutative rings (неопр.) . — 1st edition. — The Mathematical Association of America, 1968. — ISBN 0-88385-015-X .
• I. Martin Isaacs. Algebra, a graduate course (неопр.) . — 1st edition. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .

Литература

• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М. : Наука, 1973. — 393 с.