Артинов модуль — модуль над кольцом , в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей . Символически, модуль ${\displaystyle M}$ артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

${\displaystyle M_{1}\supset M_{2}\supset \ldots \supset M_{i}\supset \ldots }$

стабилизируется, то есть начиная с некоторого ${\displaystyle n}$ выполнено:

${\displaystyle M_{n}=M_{n+1}=\ldots }$ .

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей ${\displaystyle M}$ существует минимальный элемент .

Если ${\displaystyle M}$ — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль ${\displaystyle N\subset M}$ и фактормодуль ${\displaystyle M/N}$ артиновы, то и сам модуль ${\displaystyle M}$ артинов.

Названы в честь Эмиля Артина , наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей ( артинова группа , артиново кольцо ), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей ( нётеров модуль , нётерова группа , нётерово кольцо ). В частности, ассоциативное кольцо ${\displaystyle A}$ с единичным элементом называется артиновым , если оно является артиновым ${\displaystyle A}$ -модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов , для некоммутативного случая соответственно левых или правых ).

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. : Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М. : ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968.