Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей , описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым . Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени ${\displaystyle E\supseteq F}$ , такие что существует примитивный элемент ${\displaystyle \alpha \in E}$ с ${\displaystyle E=F[\alpha ]=F(\alpha )}$ .

Терминология

Пусть ${\displaystyle E\supseteq F}$ — произвольное расширение поля. Элемент ${\displaystyle \alpha \in E}$ называется примитивным элементом для расширения ${\displaystyle E\supseteq F}$ , если

${\displaystyle E=F(\alpha ).}$

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями . Любой элемент ${\displaystyle x\in E}$ простого расширения можно записать в виде

${\displaystyle x={\frac {f_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +f_{1}{\alpha }+f_{0}}{g_{k-1}{\alpha }^{k-1}+\cdots +g_{1}{\alpha }+g_{0}}}}$ где ${\displaystyle f_{i},g_{i}\in F,\alpha \in E}$

Если же, кроме того ${\displaystyle E\supseteq F}$ сепарабельно и имеет степень n , существует ${\displaystyle \alpha \in E}$ , такое что множество

${\displaystyle \{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

образует базис E как векторного пространства над F .

Формулировка

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину :

Теорема. Пусть ${\displaystyle E\supseteq F}$ — конечное расширение поля. Тогда ${\displaystyle E=F(\alpha )}$ для некоторого ${\displaystyle \alpha \in E}$ тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида ${\displaystyle E\supseteq K\supseteq F}$ конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть ${\displaystyle E\supseteq F}$ — конечное сепарабельное расширение . Тогда ${\displaystyle E=F(\alpha )}$ для некоторого ${\displaystyle \alpha \in E}$ .

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям , так как поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Пример

Далеко не очевидно, что если добавить в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ корни многочленов ${\displaystyle x^{2}-2}$ и ${\displaystyle x^{2}-3}$ , получив поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ степени 4 над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , то существует элемент ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ , через степени которого выражаются как ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , так и ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ . Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

Степени ${\displaystyle \gamma ,\gamma ^{2},\gamma ^{3}}$ выражаются как сумма ${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}}$ с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ (например, ${\displaystyle {\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }{2}}}$ ), откуда следует, что ${\displaystyle \gamma }$ является примитивным элементом.

Примечания

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975