Модулярная решётка ( дедекиндова решётка ) — решётка , в которой каждая пара элементов ${\displaystyle a,b\in L}$ модулярна , то есть справедлив закон модулярности — квазитождество :

${\displaystyle \forall x\in L:x\leqslant b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b}$ .

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства ; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца .

Любая является модулярной, обратное неверно: (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный ${\displaystyle N_{5}}$ , любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ интервалы ${\displaystyle [a\wedge b,b]}$ и ${\displaystyle [a,a\vee b]}$ изоморфны, прямое отображение: ${\displaystyle \phi (x)=x\vee a}$ , обратное — ${\displaystyle \psi (y)=y\wedge b}$ .

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент ${\displaystyle a}$ называется левомодулярным , если для любого элемента ${\displaystyle b}$ пара ${\displaystyle a,b}$ модулярна.

Элемент ${\displaystyle b}$ называется правомодулярным , если для любого элемента ${\displaystyle a}$ пара ${\displaystyle a,b}$ модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году .

Литература

• Дедекиндова решётка — статья из Математической энциклопедии . Л. А. Скорняков
• , Скорняков Л. А. . Глава V. Решётки // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 192—294. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Г. Гретцер. IV. Модулярные решётки // Общая теория решёток = General Lattice Theory / под редакцией Д. М. Смирнова. — М. : Мир, 1981. — С. 211—224. — 456 с.
• Биркгоф Г. Теория решёток. — М. : Наука, 1984. — 568 с.