Interested Article - Радикал идеала

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал , образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I . Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение

Радикал идеала I в коммутативном кольце R , обозначаемый , определяется как

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала при отображении факторизации. Это также доказывает, что является идеалом.

Примеры

  • В кольце целых чисел радикал главного идеала — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей .
  • Радикал примарного идеала прост . Если радикал идеала максимален , то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен).
  • В любом коммутативном кольце для простого идеала . В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства

  • . Более того, — это наименьший радикальный идеал, содержащий I .
  • — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I . В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
  • Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов .

Приложения

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры . Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от переменных над полем верно следующее равенство:

где

и

Примечания

  1. , Предложение 4.2.

Литература

  • Атья М. , . Введение в коммутативную алгебру. — М. : Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4 .
  • Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8 .
Источник —

Same as Радикал идеала