Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства .

Замыкание множества ${\displaystyle S}$ обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {S}}.}$ Другие обозначения: ${\displaystyle \operatorname {cl} (S),\operatorname {Cl} (S).}$

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть ${\displaystyle S}$ есть подмножество топологического пространства ${\displaystyle X.}$ Замыканием ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle X}$ называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих ${\displaystyle S.}$

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка ${\displaystyle x}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется точкой прикосновения множества ${\displaystyle S,}$ если любая окрестность ${\displaystyle x}$ содержит хотя бы одну точку множества ${\displaystyle S.}$

Множество всех точек прикосновения ${\displaystyle S}$ называется замыканием ${\displaystyle S.}$

Свойства

1. Замыкание множества замкнуто.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть

   ${\displaystyle S\subseteq {\bar {S}}.}$

3. Замыкание множества содержит все его предельные точки .
4. Множество замкнуто тогда и только тогда , когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

   ${\displaystyle S={\bar {S}}.}$

5. Свойство идемпотентности : повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4) :

   ${\displaystyle {\bar {\bar {S}}}={\bar {S}}.}$

6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

   ${\displaystyle (S\subset T)\Rightarrow ({\bar {S}}\subset {\bar {T}}).}$

7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

   ${\displaystyle {\overline {S\cup T}}={\bar {S}}\cup {\bar {T}}.}$

8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

   ${\displaystyle {\overline {S\cap T}}\subset {\bar {S}}\cap {\bar {T}}.}$

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с заданной на ней стандартной топологией.

• ${\displaystyle {\overline {(a,\;b)}}=[a,\;b];}$
• ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} ,}$ где ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множество рациональных чисел .