Универсальная алгебраическая геометрия (другое название — алгебраическая геометрия над алгебраическими системами ) — направление в математике , изучающее связи между элементами алгебраической системы , выражаемые на языке алгебраических уравнений над алгебраическими системами . Классическая алгебраическая геометрия — это конкретный пример алгебраической геометрии над алгебраическими системами для случая алгебраического поля , в универсальном случае используется инструментарий универсальной алгебры для обобщения классических результатов.

Первоначальное развитие направление получило в работах Плоткина , ( англ. ), Харлампович , , Ремесленникова . Отправной точкой стали разработки по алгебраической геометрии над свободной неабелевой группой, впоследствии содержательные теории получены для разрешимых групп ( Романовский ), , , выявлен ряд результатов над абелевыми группами , топологическими группами , гиперболическими группами , алгебрами над кольцами , а также над рядом структур с высоким уровнем общности, такими как полугруппа , моноид , полурешётка .

Одна из основных задач направления состоит в описании алгебраических множеств над выбранной алгебраической системой . Фундаментальная часть теории — обобщение результатов построения алгебраической геометрии над конкретными видами алгебраических систем и применение теоретико-модельных инструментов для построения аналогичных теорий над алгебраическими системами любой сигнатуры , нахождение общих конструкций, не зависящих от конкретных видов многообразий алгебраических систем , подбор свойств, выразимых вне зависимости от видов многообразий и выявление результатов, всеобщих для любых систем соответствующих свойств. Один из примеров такого свойства — нётеровость, ранее разработанное раздельно для групп , колец , модулей , но обобщаемое для произвольных алгебраических систем, при этом для всего класса нётеровых алгебраических систем имеет место ряд алгебраико-геометрических результатов. Кроме универсализации результатов, одним из технических эффектов подхода является упрощение многих доказательств за счёт перехода к теоретико-модельному языку, не требующему использование специфических свойств групп, колец, модулей.

Примечания

Литература

• Plotkin, B. (2002). "Seven Lectures on the Universal Algebraic Geometry". arXiv : . {{ cite arXiv }} : |class= игнорируется ( справка ) ; Неизвестный параметр |accessdate= игнорируется ( справка ) ; Шаблон цитирования имеет пустые неизвестные параметры: |version= ( справка )
• Э. Ю. Даниярова, А. Г. Мясников, В. Н. Ремесленников. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 2016. — 243 с.