Ри́манова пове́рхность — математический объект, традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия .

Примерами римановых поверхностей являются комплексная плоскость и сфера Римана . Поверхность Римана позволяет геометрически представить многозначные функции комплексного переменного таким образом, что каждой её точке соответствует одно значение многозначной функции, причём при непрерывном перемещении по поверхности непрерывно изменяется и функция . Каноническим видом поверхности Римана является представление в виде плоской лепёшки с некоторым количеством дыр .

Топологической характеристикой римановой поверхности является род ; поверхность рода ${\displaystyle g=0}$ — это сфера, поверхность рода ${\displaystyle g=1}$ — тор .

История

Поверхности такого рода систематически изучать начал Бернхард Риман (1826—1866).

По мнению Феликса Клейна , идея римановой поверхности принадлежит еще Галуа : в предсмертном письме он упоминает среди своих достижений какие-то исследования по «двусмысленности функций» ( фр. ambiguïté des functions ) .

См. также

• Модули римановой поверхности
• Конформное отображение
• Теорема об униформизации

Примечания

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М. — Л. : Гостехтеориздат, 1941. — 400 с.

• Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. — М. , 1967.