Ряд Лиуви́лля — Не́ймана
в
интегральном исчислении
— бесконечный
ряд
, соответствующий решению
интегрального уравнения Фредгольма
с непрерывным малым ядром. Назван по именам
Жозефа Лиувилля
и
Карла Неймана
.
Получение ряда
Будем искать решение
уравнения Фредгольма
u
(
x
)
=
λ
∫
G
K
(
x
,
y
)
u
(
y
)
d
y
+
f
(
x
)
{\displaystyle u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)}
методом последовательных приближений
, положив
u
(
0
)
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle u^{(0)}(x)=f(x)}
:
u
(
p
)
(
x
)
=
λ
∫
G
K
(
x
,
y
)
u
(
p
−
1
)
(
y
)
d
y
+
f
(
x
)
=
λ
(
K
u
(
p
−
1
)
)
(
x
)
+
f
(
x
)
,
p
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots }
Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла.
Методом математической индукции
проверяется следующее равенство:
u
(
p
)
=
∑
k
=
0
p
λ
k
(
K
k
f
)
(
x
)
,
p
=
0
,
1
,
…
{\displaystyle u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots }
Функции
(
K
p
f
)
(
x
)
{\displaystyle (K^{p}f)(x)}
называются
итерациями
. Можно показать, что все итерации
непрерывны и ограничены
на
G
{\displaystyle G}
:
‖
K
p
f
‖
C
=
‖
K
(
K
p
−
1
f
)
‖
C
⩽
M
m
e
s
G
‖
K
p
−
1
f
‖
C
⩽
…
⩽
(
M
m
e
s
G
)
p
‖
f
‖
C
,
p
=
0
,
1
,
…
,
{\displaystyle \|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,}
где
m
e
s
G
{\displaystyle \mathrm {mes} \,G}
— мера множества
G
{\displaystyle G}
, а
M
=
max
G
|
K
(
x
,
y
)
|
{\displaystyle M=\max _{G}|K(x,\;y)|}
.
Из этой оценки следует, что ряд
∑
k
=
0
∞
λ
k
(
K
k
f
)
(
x
)
,
x
∈
G
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,}
называемый
рядом Лиувилля — Неймана
, мажорируется
числовым рядом
‖
f
‖
C
∑
k
=
0
∞
|
λ
|
k
(
M
m
e
s
G
)
k
=
‖
f
‖
C
1
−
|
λ
|
M
m
e
s
G
,
{\displaystyle \|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},}
сходящимся в круге
|
λ
|
<
1
/
(
M
m
e
s
G
)
{\displaystyle |\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)}
, поэтому при таких
λ
{\displaystyle \lambda }
ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (
абсолютно
и
равномерно
). Это значит, что последовательные приближения
u
(
p
)
(
x
)
{\displaystyle u^{(p)}(x)}
при
p
→
∞
{\displaystyle p\to \infty }
равномерно стремятся к искомой функции
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
.
См. также
Литература