Interested Article - Ряд Лиувилля — Неймана

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд , соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана .

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

методом последовательных приближений , положив :

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

Функции называются итерациями . Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на :

где — мера множества , а .

Из этой оценки следует, что ряд

называемый рядом Лиувилля — Неймана , мажорируется числовым рядом

сходящимся в круге , поэтому при таких ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно ( абсолютно и равномерно ). Это значит, что последовательные приближения при равномерно стремятся к искомой функции .

См. также

Литература

Источник —

Same as Ряд Лиувилля — Неймана