Конформная группа пространства — это группа преобразований пространства в себя с сохранением углов. Более формально, это группа преобразований, сохраняющая пространства.

Некоторые конкретные конформные группы особенно важны:

• Конформная ортогональная группа . Если V — векторное пространство с квадратичной формой Q , то конформная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {CO} (V,Q)}$ является группой линейных преобразований T пространства V , таких что для каждого x из V существует скаляр ${\displaystyle \lambda }$ , такой что

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

  Для знакоопределённой квадратичной формы (то есть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой) конформная ортогональная группа равна ортогональной группе , умноженной на группу растяжений .

• Конформная группа сферы , порождённая инверсиями относительно окружностей. Эта группа известна также как группа Мёбиуса .
• В евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$ , n > 2 , конформная группа порождается инверсиями относительно гиперсфер .
• В псевдоевклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ конформной группой является ${\displaystyle \mathrm {Conf} (p,q)\simeq \mathrm {O} (p+1,q+1)/\mathbb {Z} _{2}}$ .

Все конформные группы являются группами Ли .

Анализ углов

В евклидовой геометрии можно ожидать, что характеристикой будет стандартный угол , но в псевдоевклидовом пространстве существует также . В специальной теории относительности различные точки отсчёта изменения скорости по отношению к другим точкам отсчёта, связаны с быстротой , гиперболическим углом. Один из способов описать лоренцев буст — , которое сохраняет разность углов между быстротами. Таким образом, они являются конформными преобразованиями по отношению к гиперболическим углам.

Один из подходов к описанию подходящей конформной группы — имитация группы Мёбиуса как конформной группы обычной комплексной плоскости . Псевдоевклидова геометрия соответствует альтернативным комплексными плоскостями, где точками являются расщепляемые комплексные числа или двойные числа вместо обычных комплексных чисел. Точно как группа Мёбиуса требует для полного описания сферу Римана , компактное пространство , так же альтернативные комплексные плоскости требуют для полного описания компактифации конформного отображения. В каждом из случаев конформная группа задаётся дробно-линейными преобразованиями на подходящей плоскости .

Конформная группа пространства-времени

В 1908 году Гарри Бейтмен и Эбенезер Каннингем , два молодых исследователя из Ливерпульского университета огласили идею конформной группы пространства-времени (теперь обычно обозначаемую как ${\displaystyle C(1,3)}$ ) . Они утверждали, что кинематические группы конформны, поскольку они сохраняют квадратичную форму пространства-времени и тем самым родственны ортогональным преобразованиям , рассматриваемым как . Свободы электромагнитного поля не продолжаются на кинематические движения, а требуют только быть локально пропорциональными преобразованиям, сохраняющим квадратичную форму. В статье Гарри Бейтмен в 1910 году изучает матрицу Якоби преобразования, которое сохраняет световой конус и показывает, что преобразование имеет свойство конформности . Бейтмен и Каннингем показали, что эта конформная группа является «наибольшей группой преобразований, оставляющих уравнения Максвелла структурно инвариантными» .

Исаак Моисеевич Яглом внёс вклад в математику пространства-времени, рассмотрев конформные преобразования в двойных числах . Поскольку двойные числа обладают свойствами кольца , но не поля , дробно-линейные преобразования требуют от быть биективным отображением.

Традиционно, следуя статье Людвика Зильберштейна (1914), для представления группы Лоренца используется кольцо бикватернионов . Для конформной группы пространства-времени достаточно рассматривать дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени названы Бейтменом . Конкретное изучение квадратичной формы пространства-времени вобрала в себя .

Примечания

Литература

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. — Oxford University Press, 2016. — С. 140. — ISBN 9780191085789 .
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri // Proceedings of the Imperial Academy . — 1941. — Т. 17.
• Harry Bateman . The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1908. — Т. 7 . — doi : .
• Harry Bateman . The Transformation of the Electrodynamical Equations // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 . — doi : .
• Ebenezer Cunningham. The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 . — С. 77–98 . — doi : .
• Косяков Б.П. Введение в классическую теорию частиц полей. — Москва, Ижевск, 2017. — ISBN 978-5-4344-0450-1 .
• Andrew Warwick. Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. — Chicago: University of Chicago Press , 2003. — ISBN 0-226-87375-7 .
• Robert Gilmore. Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications. — Robert E. Krieger Publishing, 1994. — ISBN 0-89464-759-8 . Первое издание 1974
• Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. — Москва: «Наука», 1969. — (Библиотека математического кружка).

Литература для дальнейшего чтения

• Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. — «Наука», 1986.
• Sharpe R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York: Springer-Verlag, 1997. — ISBN 0-387-94732-9 .
• Peter Scherk. Some Concepts of Conformal Geometry // American Mathematical Monthly . — 1960. — Т. 67 , вып. 1 . — С. 1−30 . — doi : .