Для удобства записи введём обозначение ${\displaystyle W=e^{-{\frac {2\pi i}{N}}}}$ . Определение k -го частотного компонента дискретного преобразования Фурье тогда примет вид ${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}W^{kn}}$ . Также заметим, что ${\displaystyle W^{-N}=e^{2\pi i}=1}$ , и для любого действительного ${\displaystyle k}$ выполняется равенство

${\displaystyle W^{k}+W^{-k}=e^{-{\frac {2\pi i}{N}}k}+e^{{\frac {2\pi i}{N}}k}=2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right).}$

Преобразуем исходное определение ${\displaystyle X_{k}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k}&=\sum _{n=0}^{N-1}{x_{n}W^{kn}}=\\&=W^{-kN}\sum _{n=0}^{N-1}{x_{n}W^{kn}}=\\&=\sum _{n=0}^{N-1}{x_{n}[W^{-k}]^{N-n}}=\\&=x_{0}[W^{-k}]^{N}+x_{1}[W^{-k}]^{N-1}+\dots +x_{N-2}[W^{-k}]^{2}+x_{N-1}W^{-k}=\\&={\bigg (}{\Big (}{\big (}\dots (x_{0}W^{-k}+x_{1})W^{-k}+\dots {\big )}W^{-k}+x_{N-2}{\Big )}W^{-k}+x_{N-1}{\bigg )}W^{-k}.\end{aligned}}}$

Процесс последовательного вычисления стоящих во вложенных скобках выражений мы теперь можем записать с помощью рекуррентной формулы:

${\displaystyle y_{n}=W^{-k}y_{n-1}+x_{n},\ n=0,1,2,\dots ,N-1.}$

При этом для вычисления ${\displaystyle y_{0}}$ примем ${\displaystyle y_{-1}=0}$ , а искомое значение k -го частотного компонента выражается как ${\displaystyle X_{k}=W^{-k}y_{N-1}}$ . Полученное выражение для ${\displaystyle y_{n}}$ представляет собой БИХ-фильтр первого порядка:

${\displaystyle y_{n}-W^{-k}y_{n-1}=x_{n}.}$

(1)

Применив z-преобразование к обеим частям выражения (1), получим

${\displaystyle {\big (}1-W^{-k}z^{-1}{\big )}Y(z)=X(z),}$

где ${\displaystyle X(z)}$ и ${\displaystyle Y(z)}$ — образы дискретных временных сигналов ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{n}}$ соответственно. Из этого выражения выразим передаточную функцию фильтра (1) и преобразуем её, домножив числитель и знаменатель на ${\displaystyle 1-W^{k}z^{-1}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&={\frac {Y(z)}{X(z)}}=\\&={\frac {1}{1-W^{-k}z^{-1}}}=\\&={\frac {1-W^{k}z^{-1}}{(1-W^{k}z^{-1})(1-W^{-k}z^{-1})}}=\\&={\frac {1-W^{k}z^{-1}}{1-(W^{k}+W^{-k})z^{-1}+z^{-2}}}=\\&={\frac {1-W^{k}z^{-1}}{1-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)z^{-1}+z^{-2}}}.\end{aligned}}}$

Передаточную функцию ${\displaystyle H(z)}$ можно представить в виде произведения функций ${\displaystyle P(z)={\frac {1}{1-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)z^{-1}+z^{-2}}}}$ и ${\displaystyle Q(z)=1-W^{k}z^{-1}}$ , что во временно́й области соответствует последовательному соединению двух фильтров с передаточными функциями ${\displaystyle P(z)}$ и ${\displaystyle Q(z)}$ . Таким образом, исходный фильтр (1) может быть представлен в виде комбинации двух фильтров:

${\displaystyle s_{n}-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)s_{n-1}+s_{n-2}=x_{n},}$

(2)

${\displaystyle y_{n}=s_{n}-W^{k}s_{n-1}.}$

(3)

Поскольку для вычисления ${\displaystyle X_{k}}$ не требуется всех выходных значений фильтра (3), а только значение ${\displaystyle y_{N-1}}$ , то вычисление ${\displaystyle y_{0},y_{1},\dots ,y_{N-2}}$ можно опустить благодаря тому, что фильтр (3) является КИХ-фильтром , выход которого ${\displaystyle y_{n}}$ зависит только от входов ${\displaystyle s_{n}}$ и ${\displaystyle s_{n-1}}$ . Значение ${\displaystyle X_{k}}$ можем тогда выразить следующим образом:

${\displaystyle X_{k}=W^{-k}y_{N-1}=W^{-k}{\big (}s_{N-1}-W^{k}s_{N-2}{\big )}=W^{-k}s_{N-1}-s_{N-2}.}$

Мощность сигнала тогда может быть вычислена как

${\displaystyle {\begin{aligned}|X_{k}|^{2}&=X_{k}\cdot {\overline {X}}_{k}=\\&=(W^{-k}s_{N-1}-s_{N-2})({\overline {[W^{-k}]}}s_{N-1}-s_{N-2})=\\&=(W^{-k}s_{N-1}-s_{N-2})(W^{k}s_{N-1}-s_{N-2})=\\&=s_{N-1}^{2}-(W^{k}+W^{-k})s_{N-1}s_{N-2}+s_{N-2}^{2}=\\&=s_{N-1}^{2}-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)s_{N-1}s_{N-2}+s_{N-2}^{2}.\end{aligned}}}$