Билинейное отображение — бинарное отображение векторных пространств , линейное по каждому из двух аргументов.

Понятие обобщается до модулей над кольцом : если ${\displaystyle V\displaystyle }$ — левый ${\displaystyle A}$ -модуль, ${\displaystyle W\displaystyle }$ — правый унитарный ${\displaystyle B}$ -модуль, ${\displaystyle X\displaystyle }$ — ${\displaystyle (A,B)}$ - бимодуль , то ${\displaystyle f\colon V\times W\to X}$ билинейно, если оно линейно по каждому из двух аргументов ( ${\displaystyle v,v'\in V;\,w,w'\in W;\,a\in A;\,b\in B}$ ):

${\displaystyle f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)}$ ,

${\displaystyle f(av,w)=af(v,w)}$ ,

${\displaystyle f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')}$ ,

${\displaystyle f(v,wb)=f(v,w)b}$ .

Эквивалентная формулировка: ${\displaystyle f\colon V\times W\to X}$ билинейно, если определено линейное отображение ${\displaystyle f_{1}:V\to {\text{Hom}}(W,X)}$ (или, что то же самое, определено линейное отображение ${\displaystyle f_{2}:W\to {\text{Hom}}(V,X)}$ ).

Билинейная форма в наиболее общем случае — билинейное отображение ${\displaystyle V\times W\to A}$ , где ${\displaystyle V}$ — левый унитарный ${\displaystyle A}$ -модуль, ${\displaystyle W}$ — правый унитарный ${\displaystyle A}$ -модуль, а ${\displaystyle A}$ — рассматриваемое как ${\displaystyle (A,A)}$ -бимодуль кольцо с единицей . Билинейная операция — линейное по обоим аргументам отображение ${\displaystyle f\colon X\times X\rightarrow X}$ , таковыми являются умножения в алгебрах над кольцами , а также различные разновидности умножения матриц .

Литература

• Серж Ленг. Алгебра. — М. : Мир, 1968. — С. 110.
• Билинейное отображение — статья из Математической энциклопедии . В. Л. Попов