Interested Article - Список кристаллографических групп

Кристаллографические группы , или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом . Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии .

Легенда к списку

Символ Германа — Могена

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:

  • P — примитивная;
  • I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
  • F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
  • С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
  • R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).

Классы

Для обозначения кристаллографических классов ( точечных групп ) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m ):

  • — ось симметрии n -го порядка.
  • — инверсионная ось симметрии n -го порядка.
  • — плоскость симметрии.
  • или — ось симметрии n -го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
  • — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
  • — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
  • — ось симметрии n -го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
  • или ( n — чётное) — инверсионная ось симметрии n -го порядка, плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
  • ( n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n -го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ Шёнфлиса

  • С n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С , с нижним цифровым индексом n , соответствующим порядку этой оси.
  • С ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
  • C nv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
  • C nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
  • S 2 , S 4 , S 6 (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.
  • C s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
  • D n — является группой С n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
  • D nh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
  • D nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
  • O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.
  • O h и T h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
  • T d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 групп

Номер Класс Число групп Символ Германа-Могена Символ Шёнфлиса Изображение
Триклинная система
1 1
2 1
Моноклинная система
3-5 3
Внешне человек обладает симметрией.
6-9 4
10-15 6
Ромбическая система
16-24 9

Рельсы обладают симметрией.

25 - 46 22
47-74 28
Тетрагональная система
75-80 6
Симметрия.
81-82 2
83-88 6
89-98 10
99-110 12
111-122 12
123-142 20
Кристаллическая решётка циркона имеет симметрию.
Тригональная система
143-146 4
Молекула боразана обладает симметрией.
147-148 2
149-155 7
156-161 6
162-167 6
Гексагональная система
168-173 6
Пчелиные соты обладают симметрией.
174 1
175-176 2
177-182 6
Нанотрубка может обладать симметрией.
183-186 4
187-190 4
191-194 4
Кубическая система
195-199 5
Структура алмаза имеет симметрию.
200-206 7
207-214 8
215-220 6
221-230 10

В других размерностях

У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| .. 

Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.

Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью .

Последующая классификация

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы ( сингонии ). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна .

См. также

Литература

Ссылки

Источник —

Same as Список кристаллографических групп