Аффинная оболочка — наименьшее аффинное пространство , содержащее заданное множество ${\displaystyle S}$ евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ; обозначается ${\displaystyle \mathrm {aff} (S)}$ . Также может быть построено как множество всех аффинных комбинаций элементов ${\displaystyle S}$ :

${\displaystyle \mathrm {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}{\Bigg |}k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}}$ .

Аффинная оболочка единичного элемента является единичным элементом. Аффинная оболочка множества из двух точек — это прямая , проходящая через эти точки; аффинная оболочка множества из трёх точек, не лежащих на одной прямой — плоскость , содержащая все три точки; аффинная оболочка множества из четырёх точек, не лежащих в одной плоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — само пространство ${\displaystyle R^{3}}$ .

Аффинная оболочка всегда является замкнутым множеством . Построение аффинной оболочки является оператором замыкания , и, в частности, идемпотентно : ${\displaystyle \mathrm {aff} (\mathrm {aff} (S))=\mathrm {aff} (S)}$ .

Аффинная оболочка всегда включает выпуклую оболочку (строящуюся из выпуклых комбинаций , на которые наложены более сильные ограничения, чем на аффинные). Линейная оболочка всегда содержит аффинную оболочку, поскольку линейная комбинация не накладывает никаких ограничений на коэффициенты комбинаций ( ${\displaystyle \alpha }$ ).

Ссылки

• R. J. Webster, Convexity . Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8 .